Considere la siguiente expresión $$\sum_{i=1}^n \left(\frac{p\alpha_ie^{\alpha_i\cdot x}}{1-p+pe^{\alpha_i\cdot x}}\right) = c$$ donde $\alpha_i, c \in \mathbb{R}$ $p \in (0,1).$ ¿Cómo puedo resolver para $x$ a partir de la ecuación?
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polfosol
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He aquí lo que he intentado y era demasiado largo para ser un comentario.
Mediante la integración de ambos lados: $$\sum_{i=1}^n\ln(1-p+p\;e^{\alpha_i x})=cx+c_1$$ y ya que este debe poseer para$x=0$,$c_1=0$.
Por lo tanto $$\prod_{i=1}^n\left(1+p(e^{\alpha_i x}-1)\right)=e^{cx}$$ Set $y:=e^x$ a convertir la ecuación anterior para una relación no lineal (y aparentemente irresolubles en general) ecuación: $$\prod_{i=1}^n\left(1+p(y^{\alpha_i}-1)\right)=y^{c}$$
user159517
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Tenemos $$\sum_{i=1}^n \left(\frac{p\alpha_ie^{\alpha_i\cdot x}}{1-p+pe^{\alpha_i\cdot x}}\right) = \sum_{i=1}^{n}\frac{d}{dx} \ln(1-p+p e^{\alpha_i x}) = \frac{d}{dx} \ln\left(\prod_{i=1}^{n} (1-p+pe^{\alpha_i x})\right).$$ Distribuir el producto (sustituyendo $q=1-p$ podría simplificar la notación) y diferenciar le da una función racional en las variables $Y_i := e^{\alpha_{i}x}$, volviendo a la ecuación original esto significa que la pregunta puede ser planteada como encontrar los ceros de una multivariante polinomio en $Y_i$ ( $Y_i = e^{\alpha_i x})$ . En este punto parece raro para mí que hay una forma cerrada para la solución de $x$.
