Son estos estimadores de $P(X<Y)$ asintóticamente una distribución normal?

Question

Tengo dos variables aleatorias continuas, $X$$Y$, cuyas distribuciones son desconocidos. Puedo sacar muestras de ellos y, en particular, estoy interesado en la estimación de $P(X<Y)$ sobre la base de las muestras. Supongamos que cada una de las muestras ha $n$ elementos: $x_1, x_2, \ldots, x_n$ provienen de $X$$y_1, y_2, \ldots, y_n$$Y$.

Puedo usar $$T=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}I(x_i < y_j)$$ como la estimación de $P(X<Y)$ si asumo $X$ $Y$ son independientes y es un estimador asintóticamente una distribución normal? Si yo supiera

También, si asumo que $X$ $Y$ son dependientes, puedo usar $$S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}I(x_i < y_i)$$ como el estimador de dicha probabilidad y es asintóticamente una distribución normal?

Estoy preguntando acerca de la normalidad asintótica porque me gustaría para determinar los límites inferior y superior de $P(X<Y)$ y creo que los intervalos de confianza puede actuar como tal.

P. S. $I(E)=1$ si $E$ es cierto, y $0$ lo contrario.

Answer 1

La estadística de $T$ es un ejemplo de un general $U$-estadística, introdujo por Hoeffding en su artículo del año 1948 Una clase de estadísticas con asintóticamente distribución normal. Por otra parte, es uno de los más famosos de esa clase, es decir, la prueba de Mann-Whitney. Tiene la media más baja error cuadrado de $S$, es decir, es igual a $E\left(S\mid X_{\left(1\right)},X_{\left(2\right)},\ldots,Y_{\left(1\right)},Y_{\left(2\right)},\ldots\right)$, y puesto que el orden de las estadísticas son suficientes, el Rao-Blackwell teorema de puede ser aplicado. Además, está distribuido normalmente, un hecho que sigue a partir de un teorema general en $U$-estadísticas, ver los capítulos en $U$-estadísticas en, por ejemplo, Lehmann de Elementos de Gran tamaño de la Muestra La teoría de la o Serfling la Aproximación Teoremas de la Estadística Matemática. Su limitante de la distribución, con una pequeña muestra de corrección, puede ser encontrado en la wikipedia., y es implementado en R a través de la función de $\mathtt{wilcox.test}$ (con la opción de $\mathtt{paired=FALSE}$).

Tenga en cuenta que la definición de la u de Mann-Whitney U test es ambiguo. A veces se define como el $T$ por encima, pero a veces la cuenta de "victorias para $x_i$" como algo positivo y "victorias para $y_i$" como negativo. Este es el enfoque adoptado en, por ejemplo, la función R $\mathtt{wilcox.test}$.