Parece que no puede conciliar óptica geométrica y óptica ondulatoria

Question

Yo estaba mirando una física de la situación que involucra a la luz, y me puede hacer la correcta derivación suponiendo que la luz es un rayo de intensidad dada (óptica geométrica), de conservación de la energía se verifica, todo. Pero cuando intento pasar a un modelo de onda de la luz para tener en cuenta la interferencia, no funciona nada más - yo obtener resultados completamente diferentes. Y no sé por qué. Me está volviendo loco.

Aquí está la situación. Encontrar el total reflejado y transmitido intensidad de la luz desde/a través de esta capa.

Medio externo tiene índice de refracción $n_0$, la capa de $n_1$ y medio interno,$n_2$. El uso de las ecuaciones de Fresnel, llame a la reflectancia de la interfaz $n_i \to n_j$, $\text{R}(n_i \to n_j)$ y llamar a la transmitancia $\text{T}(n_i \to n_j)$.

El Fresnel propiedades se aplican, $\text{R}(n_i \to n_j) = \text{R}(n_j \to n_i)$, $\text{T}(n_i \to n_j) = \text{T}(n_j \to n_i)$, y:

$$\text{R}(n_i \to n_j) + \text{T}(n_i \to n_j) = 1$$

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Sólo voy a hacer la luz transmitida derivación desde su suficiente para demostrar mi problema. La luz transmitida es:

$$\text{T} = \text{T}(n_0 \to n_1) \cdot \text{T}(n_1 \to n_2) \cdot \sum \left (\text{R}(n_1 \to n_0) \cdot \text{R}(n_1 \to n_2) \right )^k$$

$$\text{T} = \frac{\text{T}(n_0 \to n_1) \cdot \text{T}(n_1 \to n_2)}{1 - \text{R}(n_1 \to n_0) \cdot \text{R}(n_1 \to n_2)}$$

Una similar derivación obtiene el reflejo de la intensidad, y que correctamente agregar hasta 1, como se esperaba.

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Ahora suponga que la luz es una onda, la capa de espesor $\delta$ y la onda incidente (en rojo) tiene longitud de onda $\lambda$.

Ahora el uso de las ecuaciones de Fresnel para amplitudes, llamarlos $\text{r}(n_i \to n_j)$$\text{t}(n_i \to n_j)$.

El cambio de fase para la $k$th la onda transmitida es (asumiendo que no hay cambio de fase debido a la reflexión):

$$\frac{2 k \pi}{\lambda} \left ( 2 n_1 \delta \cos{\theta} \right ) = k \varphi$$

Donde $\theta$ es el ángulo hecho por la onda de luz en el interior de la capa (depende del ángulo de incidencia).

Entonces, la intensidad transmitida es:

$$\text{T} = \left | \text{t}(n_0 \to n_1) \cdot \text{t}(n_1 \to n_2) \cdot \sum \left (\text{r}(n_1 \to n_0) \cdot \text{r}(n_1 \to n_2) \cdot e^{i \varphi} \right )^k \right |^2$$

$$\text{T} = \frac{| \text{t}(n_0 \to n_1) |^2 \cdot | \text{t}(n_1 \to n_2) |^2}{| \text{r}(n_1 \to n_0) |^2 \cdot | \text{r}(n_1 \to n_2) |^2 - 2 \cdot \text{r}(n_1 \to n_0) \cdot \text{r}(n_1 \to n_2) \cdot \cos(\varphi) + 1}$$

Que no es ni siquiera cerca de el resultado correcto! Esto es completamente absurdo.

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Entiendo que esto no es una manera elegante de hacer electromagnetismo y hace un montón de suposiciones (yo no soy un estudiante de física, esto es para gráficos por computadora), pero no entiendo por que los dos modelos no dan la misma respuesta? Sé que estoy cometiendo un error en el segundo, pero no puedo encontrarlo. Pensé que esta es la forma de agregar las olas y siento que mi suma es correcta, pero los resultados aún no están de acuerdo con la óptica geométrica resultado. Nota: he quitado el $\omega t$ parte de la ola, ya que anula en la final.

Supongo que un equivalente pregunta sería, es posible que alguien me muestre el correcto onda óptica de derivación (que debe de promedio a la óptica geométrica solución a través de todos los posibles cambios de fase, como se señaló en los comentarios)? Porque me he pasado días con este problema y me siento realmente en mi ingenio en la final en este punto.

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EDIT: después de poner Mathematica para trabajar en esto, resulta que la onda óptica promedio es igual a la óptica geométrica de la solución, con un pequeño problema: es que me dice que $|\text{t}|^2$ es igual a la transmitancia $\text{T}$, que aparentemente es un error, según la Wikipedia Fresnel artículo, donde:

$$\text{T}(n_i \to n_j) = \frac{n_j \cos{\theta_j}}{n_i \cos{\theta_i}} |\text{t}(n_i \to n_j)|^2$$

Pero, al menos, parece como si yo no estaba completamente equivocado. Así que ahora sólo necesita ayuda en la comprensión de por qué el coeficiente de transmitancia no funciona como debería..

Answer 1

Ambos resultados son correctos. Como Luboš Motl, señaló en su comentario, podemos obtener la óptica geométrica enfoque de la respuesta de la onda método de respuesta promedio es de más de 1 período completo.

Quizás cometió un error en alguna parte cuando en promedio.

Si calculamos el promedio cuidadosamente:

$\bar{T}=\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi}^{\pi}T d\varphi$

$\bar{T}=\frac{1}{2\pi} \times T_{01}T_{12} \int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{(r_{10}r_{12})^2-2r_{10}r_{12}cos\varphi+1}d\varphi$

vamos a conseguir este

$\bar{T}=\frac{1}{2\pi} \times T_{01}T_{12}\left|\frac{2tan^{-1}\left(\frac{1+r_{10}r_{12}}{1-r_{10}r_{12}}tan{\frac{\varphi}{2}}\right)}{1-(r_{10}r_{12})^2}\right|_{-\pi}^{\pi} $

usted puede comprobar aquí

ahora no es difícil ver que

$\bar{T}=\frac{1}{2\pi} \times T_{01}T_{12}\frac{(2\pi)}{1-R_{10}R_{12}}=\frac{T_{01}T_{12}}{1-R_{10}R_{12}}$

misma que la obtenida a partir de óptica geométrica del método de

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EDIT(para responder a la parte de EDICIÓN de la pregunta):

Primero de todo, vamos a hacer todo lo claro, de modo que la ecuación que usted ha citado de Wikipedia sentido. La amplitud aquí significa que la magnitud del campo eléctrico. El $t$ simplemente significa que la relación de transmisión de entrada y de campo eléctrico (estábamos en el uso de diferentes definiciones de $t$ en los cálculos anteriores, el $t$ que utilizamos anteriormente incluye otros factores junto a la relación de los campos eléctricos). Y la transmitancia $T$ aquí representa la fracción de la potencia transmitida al medio 2. Aquí el poder $P$ es proporcional a

$P\propto IA$

donde la intensidad es proporcional a $I\propto nE^2$. Y el haz de área es proporcional a $A\propto cos\theta$, es debido a que la viga de sección transversal disminuye a medida que se inclina hacia el límite del plano (ver imagen). Ponerlos juntos hemos

$P\propto nE^2cos\theta$

así que a partir de la nueva definición de la transmitancia $T$ tenemos

$T=\frac{n_2 cos\theta_t}{n_1 cos\theta_i}t^2$

y desde los entrantes y los rayos reflejados tienen el mismo $cos\theta$$n$, la reflectancia es simple

$R=r^2$

hemos calculado que

$\bar{t^2}=\frac{t_{01}^2t_{12}^2 }{1-R_{10}R_{12}}$

multiplicar ambos lados con $\frac{n_2 cos\theta_t}{n_0 cos\theta_i}$

$\bar{T}=\frac{t_{01}^2t_{12}^2 }{1-R_{10}R_{12}}\frac{n_2 cos\theta_t}{n_0 cos\theta_i}$

Podemos comprobar

$T_{01}T_{12}=\left(\frac{n_1 cos\theta_m}{n_0 cos\theta_i}t_{01}^2\right)\left(\frac{n_2 cos\theta_t}{n_1 cos\theta_m}t_{12}^2\right)=\frac{n_2 cos\theta_t}{n_0cos\theta_i}t_{01}^2t_{12}^2$

Así, de nuevo tenemos

$\bar{T}=\frac{T_{01}T_{12}}{1-R_{10}R_{12}}$

Answer 2

No sé cuánto desea calcular con las olas y las funciones exponenciales, pero es excelente explicó en la Electrodinámica Clásica Tercera Edición: John David Jackson Capítulo 7.3. Reflection and refraction of Electromagnetic Waves at a Plane Interface Between Dielectrics. Por desgracia, se requiere un poco de matemáticas, pero como usted está pidiendo que supongo que usted sabe los conceptos básicos necesarios. Jackson calcula el electro-magnético de la onda compuesta de campo eléctrico y magnético.