Cuña de productos, base dual y exterior de álgebra en mi análisis del libro

Question

Estoy leyendo un libro sobre Análisis Real y hay un capítulo sobre la superficie de las integrales. Se empieza por definir la cuña de producto y, a continuación, se inicia la definición de formas diferenciales de algún grado. Se inicia de esta manera:

Vamos a usar la notación $\{dx_1, \ldots, dx_m\}$ para el canónica base de $(\mathbb{R}^m)^*$, el doble de la base $\{e_1, \ldots, e_m\}\subconjunto\mathbb{R}^m$, where $e_1 = (1,0,\ldots, 0)$ etc. Para cada set $I = \{i_1< \cdots < i_r\}\subset \{1,2,\ldots, m\}$, vamos a escribir

$$dx_I = dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_r}$$

el $r$-lineal de la alternancia de las formas $d_{x_I}$ hacer la base canónica de el espacio vectorial $A_r(\mathbb{R}^m)$ (el espacio de la $r$ lineal mapas de$\mathbb{R}^m$$\mathbb{R}$).

Dada una lista de $r$ vectores $v_1,\ldots, v_r\in\mathbb{R}^m$, se obtener una matriz $a = (a_{ij})$, $m$ líneas y $r$ columnas, en que el $j$-ésima columna es el vector $v_j = (a_{1j}, \ldots, a_{mk})$. En este caso:

$$d_{x_I}(v_1, \ldots, v_r) = \det(a_I)$$

donde $a_I$ es la matriz $r\times r$ obtuvo la selección de las líneas de tal manera que los índices pertenecen al conjunto de $I$

Sé que aquí, $dx_1, \ldots$ son sólo nombres para la base dual de los elementos, sino que tiene algo que ver con $dx$ de las integrales. ¿Cuál es esta relación? ¿Por qué estamos aún utilizando dos vectores de la base, por lo que son útiles?

He estado buscando en google cosas y encontró que esto está relacionado con algo que se llama álgebra exterior, que utiliza una gran cantidad de cuña de productos, pero estoy perdido aquí, yo no tengo nada acerca de la utilidad de la cuña de productos y su relación con los vectores duales. Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Como una breve lowbrow croquis....

Formas diferenciales son cosas que integrar. La relación con el $\mathrm{d}x$ en las integrales es que fueron enseñadas integración de formas diferenciales, pero de introducción de materiales no quería en realidad introducir la idea de una forma diferenciada.

Los derivados también son naturalmente más diferencial de la forma de valoración. Por ejemplo:

• $\mathrm{d}f$ es mucho más natural objeto de que "el vector en el que $f$ aumenta más rápido con una longitud igual a la tasa de aumento".
• $\mathrm{d}x_1$ puede ser visto como la aplicación de la $\mathrm{d}$ operador para el campo escalar $x_1$. $\frac{\partial}{\partial x_1}$ no tiene ningún tipo de interpretación — de hecho, $\frac{\partial}{\partial x_1}$ implícitamente depende de la totalidad de la elección de coordenadas $\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \}$, a pesar del hecho de que sólo $x_1$ aparece en la notación.

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Una de las razones para ver por qué el producto es la alternancia es considerar las dos diferentes formas de reducir la integración en la unidad de la plaza de integrales sobre trayectorias:

$$ \int_0^1 \left( \int_0^1 f(x,y) \, \mathrm{d} y \right) \mathrm{d} x = \int_{\square} f(x,y) \, (\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y) = \int_0^1 \left( \int_0^1 f(x,y) \, \mathrm{d} x \right) \mathrm{d} $y$

(normalmente escribes $\mathrm{d}x \mathrm{d}y$ en el medio, pero quiero enfatizar que el significado es el producto exterior)

No estoy seguro de cómo describirlo, pero una vez que averiguar la noción de la forma geométrica de los caminos y de las superficies son tales y orientado, vas a ver que la integral de la derecha tiene la orientación opuesta de la integral de la izquierda; en consecuencia, $\mathrm{d}y \mathrm{d}x = -\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ para compensar.

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La razón por la que el aprendizaje de esta materia es que el algebraicas aspecto de la geometría diferencial es mucho más naturalmente se expresa en términos de las diferencias que en términos de los vectores de tangentes (es decir, la derivada parcial de los operadores).

Además, la generalizada del teorema de stokes — las dimensiones superiores, análogo al teorema fundamental del cálculo — tiene una expresión natural cuando integrands son formas diferenciales y las regiones de integración está tomando a ser cadenas:

$$\int_R \mathrm{d} \omega = \int_{\partial R} \omega$$

Esto está relacionado con el álgebra homológica. De hecho, de Rham cohomology es uno de los grandes métodos de la asignatura, donde el cochains son formas diferenciales.

Por ejemplo, si $\omega$ $0$- forma (es decir, una función) y $R$ es el camino de$a$$b$, entonces lo anterior se reduce a

$$\int_a^b \mathrm{d} f = \int_{b} f - \int_a f = f(b) - f(a)$$

(puesto que la integral de una $0$-forma a través de una $0$-dimensional de la región es, simplemente, la evaluación de la función en ese punto, y el límite de la ruta consiste en el punto de $b$ orientación positiva y el punto de $a$ orientado negativamente)