Si $X=\beta\mathbb{N}$ $M$ es contable, a continuación, $X_M$ es un espacio métrico. (Primaria submodelos)

Question

Me imagino que esta pregunta es muy simple, pero debe haber algo que me estoy perdiendo.

Si $M$ es un elemental submodel del universo, y tengo un espacio topológico $(X,\tau)\in M$. Puedo definir un nuevo espacio topológico $X_M = (X\cap M, \tau\cap M)$. ($ \tau\cap M$ No es necesarrily una topología pero es una base para uno).

Supuestamente claro que si $M$ es contable y $X$ $\beta\mathbb{N}$ $(X\cap M, \tau\cap M)$ es una contables de espacio métrico.

No sé cómo comprobar la reclamación. Sé que es contable y segundo contables, pero no sé si es compacto o alguna otra cosa, como este que me va a dar una métrica.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Yo creo que el siguiente funciona (es un poco tarde donde estoy, pero ahí va):

Primero de todo, vamos a aclarar lo que el espacio es. Como Asaf, señala que la base es un poco más complicada de lo que he descrito: el espacio de $(X_M, \tau_M)$$(X\cap M, \{U\cap M: U\in\tau\cap M\})$. A la derecha del palo, esto nos dice que si $M$ es contable, a continuación, $(X_M,\tau_M)$ es una contables de segunda contables espacio, independientemente de lo $(X,\tau)$ es.

Ahora queremos argumentar que si $X=\beta\mathbb{N}$ $\tau$ es como es habitual, el espacio de $\mathcal{X}_M=(X_M,\tau_M)$$T_3$; por Urysohn del metrization teorema (como se observa en la Henno Brandsma en un comentario), el resultado se sigue. Así que tenemos que mostrar que $\mathcal{X}_M$ es Hausdorff y regular.

• $\mathcal{X}_M$ es Hausdorff: dado distintas ultrafilters $p, q\in X\cap M$, debe haber un conjunto de distinguirlos en $M$ - es decir, algunos $a\subseteq\omega$ $a\in p$ pero $\omega\setminus a\in q$. Pero luego al abrir conjuntos de $[a]$ $[\omega\setminus a]$ (donde "$[x]$" denota el conjunto de ultrafilters que contengan $x$) forma un par de bloques abiertos en $\mathcal{X}_M$ separación de $p$$q$.

• $\mathcal{X}_M$ es regular: queremos demostrar que si $p\in X_M$ $C\subseteq X_M$ es cerrado, entonces hay barrios de la separación de $p$$C$. Desde el complemento de $C$ está abierto, podemos encontrar algunos básico conjunto abierto que contiene a $p$ que es disjunta de a $C$; teniendo en cuenta la topología, lo que esto significa es que podemos encontrar algunos de $a\subseteq\omega$ $a\in M$ $x\in p$ ( $p\in [a]$ ) pero con $a\not\in q$ cualquier $q\in C$. Pero, a continuación, $[\omega\setminus a]$ es un básico barrio abierto que contiene a $C$ que es disjunta de a $[a]$ (que contiene a $p$).