7 votos

Si $f(x)\to +\infty$$x\to +\infty$, entonces ¿por qué es $\lim_{x\to \infty}\frac{\sin{(x^2+x+1)}}{f(x)}=0$?

Si $f(x)\to +\infty$$x\to +\infty$, $$\frac{\sin{(x^2+x+1)}}{f(x)}\to 0, \qquad \text{ as } x\to+\infty$$

Sé que el siguiente es verdadero por el Teorema del sándwich. Simplemente no estoy seguro de cómo aplicarlo. Alguna sugerencia?

10voto

Stef Puntos 17114

Sugerencia: $-1\le \sin{(x^2+x+1)}\le 1$ para cualquier valor de $x$. Por lo tanto $$-\frac{1}{f(x)}\le \frac{\sin{(x^2+x+1)}}{f(x)}\le \frac{1}{f(x)}$$

2voto

Crazy Puntos 32

Utilice el hecho de que la función seno es limitada

$$-1\leq \sin x \leq 1$$

$$-1 \leq \sin(x^2+x+1) \leq 1$$

$$\dfrac{-1}{f(x)} \leq \dfrac{\sin(x^2+x+1)}{f(x)} \leq \frac{1}{f(x)}$$

$f(x)→ ∞$ $x→ \infty $

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{-1}{f(x)} \leq \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\sin(x^2+x+1)}{f(x)} \leq \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{f(x)}$$

$$0\leq \dfrac{\sin(x^2+x+1)}{f(x)} \leq 0$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\sin(x^2+x+1)}{f(x)}=0$$

2voto

Shabrish Nair Puntos 11

Bien, tenemos $$0\leq|\sin(x^2+x+1)/f(x)|\leq\frac{1}{|f(x)|}$$, a Continuación, aplicar el Teorema del sándwich

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X