¿Cuál sería el determinante de la siguiente matriz?

Question

"Si $$\det\begin{pmatrix}a&1&d\\ b&1&e\\ c&1&f\end{pmatrix}=4$$

y $$\det \begin{pmatrix}a&1&d\\ b&2&e\\ c&3&f\end{pmatrix}=3$$

¿Qué es $$\det \begin{pmatrix}a&-1&d\\ b&-3&e\\ c&-5&f\end{pmatrix}?$$"

Esto no parece encajar en ninguno de los cambios en los valores de las matrices. Una fila no parece ser multiplicado. No parece como una fila se añade a otro. Así que, ¿cómo iba yo a encontrar el necesario factor determinante?

Answer 1

$\det \begin{pmatrix}a&-1&d\\ b&-3&e\\ c&-5&f\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}a&1-2\times1&d\\ b&1-2\times 2&e\\ c&1-2\times 3&f\end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix}a&1&d\\ b&1&e\\ c&1&f\end{pmatrix}-2\det \begin{pmatrix}a&1&d\\ b&2&e\\ c&3&f\end{pmatrix}$

Answer 2

Deje $$p = -\begin{vmatrix}b & e \\ c & f\end{vmatrix}, q= \begin{vmatrix}a & d \\ c & f\end{vmatrix}, r=-\begin{vmatrix}a & d \\ b & e\end{vmatrix}$$

La pregunta se puede reformular de la siguiente manera:

Si $$p+q+r=4$$

y $$p+2q+3r=3$$

Encontrar:

$$-p-3q-5r$$