Estamos considerando el hecho de palabras opsure y clinterior, donde el opsure de un conjunto $A$ es el más pequeño conjunto abierto que contiene a $A$ y el clinterior de un conjunto $B$ es el mayor conjunto cerrado contenido en $B$.
Estoy encargado de las siguientes:
Dar un ejemplo de un conjunto $X$ que no tiene un opsure, y dar un ejemplo de un conjunto $Y$ que no tiene un clinterior. ¿Cuál es la razón clave por la que cada conjunto tiene un cierre, pero no un opsure? ¿Cuál es la razón clave por la que cada conjunto tiene un interior pero no clinterior?"
Primero definimos un conjunto abierto:
Dado un conjunto $X \subset \mathbb R$, $X$ se llama abierto si $\forall_x \in X$, $x$ tiene un $\epsilon$-el vecindario, que está contenida en $X$. Así que un ejemplo de un conjunto abierto es $(a,b)$. Esto es cierto $\forall_{a,b} \in \mathbb R$$a \neq b$. Además, $\emptyset$ $\mathbb R$ están abiertos conjuntos.
Asimismo, se define un conjunto cerrado:
Un conjunto $Y$ es cerrado si contiene a todos sus límite de puntos. O, podemos decir $Y$ es cerrado si y sólo si $Y^c$ está abierto. Ejemplos de conjuntos cerrados se $[c,d]$ $\emptyset$ (que es sólo uno de los dos conjuntos que están vacíos y cerrados! La otra es $\mathbb R$). De nuevo, suponemos $\forall_{c,d} \in \mathbb R$$c \neq d$.
Para el ejemplo de un conjunto que carece de la propiedad de opsure:
Dado un conjunto abierto $A$, el más pequeño conjunto abierto que contiene a $A$ $A$ sí. Para un conjunto que carecen de opsure, llame a $X$, es un conjunto que no es el conjunto más pequeño que contiene a sí mismo. Un ejemplo de este conjunto podría ser $X = \mathbb R + (0,1)$ desde $\mathbb R$ ya contiene el conjunto de $(0,1)$, con lo que el conjunto $X$ carece de tener la propiedad de opsure como $X$ no es el conjunto más pequeño que contiene a sí mismo.
Aquí estoy luchando aunque. No estoy seguro de si mi ejemplo anterior funciona/es correcta y estoy teniendo un tiempo difícil encontrar un conjunto de $Y$ que satisface la propiedad de tener lo que se define como un clinterior.
Cualquier ayuda sería muy apreciada, gracias!
