Demostrar que no hay otras soluciones del funcional de la ecuación de $f(x+y) = \frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$

Question

Tengo el siguiente ecuación funcional. Encontrar todas las funciones continuas $f:(-1,1) \to \mathbb R$ tal que $$ f(x+y)=\frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x)f(y)} $$ La primera solución obvia es $f(x) \equiv 0$. Otro supuse, es $f(x) = \pm \tan x$. Sospecho, que no hay más soluciones. El problema es que no sé cómo probar que.

Ya tenemos una ecuación racional, no tengo idea de cómo hacer que las sustituciones con el fin de obtener la expresión para $\tan x$ (ya que no es una expresión racional).

P. S. yo también puedo mostrar lo que es cierto que (a) $f(0) = 0$ (tome $x=y=0$), y (b) $f(-x) = -f(x)$ (tome $y=-x$).

Answer 1

Definir $g(x)=\arctan(f(x))$, por lo que el $f(x)=\tan(g(x))$. A continuación, $g:(-1,1)\to(-\pi/2,\pi/2)$ es continua. El funcional de la ecuación se convierte en $$ \tan(g(x+y))=\frac{\tan(g(x))+\tan(g(y))}{1-\tan(g(x))\tan(g(y))}=\tan(g(x)+g(y)). $$ La última igualdad se utiliza la tangente de la suma de ángulos de la fórmula. De ello se desprende que $g(x+y)-g(x)-g(y)\in \mathbb{Z}\cdot\pi$. La función de $w(x,y):=g(x+y)-g(x)-g(y)$ es continua y discreta con valores en el conjunto conectado a $\{(x,y)\in(-1,1)^2:x+y\in(-1,1)\}$, lo $w$ debe ser constante. Desde $w(0,0)=0$,$w\equiv 0$, y llegamos a la conclusión de que $$ g(x+y)=g(x)+g(y), $$ para todos $x$, $y\in(-1,1)$ tal que $x+y\in(-1,1)$. Es bien sabido que cada real continua de las funciones con valores en $\mathbb{R}$ que conserva, además es la forma de multiplicación por una constante, y esencialmente la misma prueba de obras para las funciones en $(-1,1)$. No voy a escribir los detalles.

Desde $g$ es de $(-1,1)$ a $(-\pi/2,\pi/2)$, debemos tener $g(x)=Cx$ algunos $C\in [-\pi/2,\pi/2]$. Llegamos a la conclusión de que las únicas soluciones de la ecuación original son $$ f(x)=\tan(Cx) $$ para $C\in[-\pi/2,\pi/2]$. Los casos de $C=0,\pm1$ son las soluciones que encontraron.