Encontrar una expresión para la $n$-ésima derivada de $f(x)=e^{x^2}$

Question

Necesito encontrar una expresión para $n$th derivado de la $f(x) = e^{x^2}$. Realmente necesitan ayuda.

Answer 1

Aquí está una menor de primaria de la solución.

Consideramos que la exponencial de generación de función

$$G(t,x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \frac{d^n}{dx^n}e^{x^2}.$$

A continuación, podemos identificar esta serie como el de la serie de McLaurin de $e^{(x+t)^2}$ cerca de $t = 0$. Por lo tanto debemos tener

$$G(t,x) = e^{(x+t)^2} = e^{x^2} e^{2xt} e^{t^2} = e^{x^2}\left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x)^k}{k!} t^k \right)\left( \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l!} t^{2l} \right). $$

La expansión de esta serie y la comparación, hemos

$$ \frac{d^n}{dx^n} e^{x^2} = \left( \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n!}{j!(n-2j)!}(2x)^{n-2j} \right) e^{x^2}. $$

He aquí un ejemplo:

Answer 2

No estoy seguro de si esto es lo que está después, pero hay una recursividad que se puede establecer. Cada derivados será el producto de un polinomio en $x$$e^{x^2}$. Si $f^{(n)}(x)=p_n(x)e^{x^2}$, luego tenemos $$p_0(x)=1$$ y $$p_n(x)=2x\,p_{n-1}(x)+p^\prime_{n-1}(x)$$

Esta repetición tiene las siguientes asociados infinito de la matriz:

$$M=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 2 & 0 & 2 & 0 & \cdots\\ 0 & 2 & 0 & 3 & \cdots\\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\\ \end{bmatrix}$$

visto como una transformación en el espacio vectorial de los polinomios en $x$ con base $\left\{1,x,x^2,x^3,\ldots\right\}$. La primera columna de $M^n$ le da la $n$th derivado de la $f$. Si es que hay alguna esperanza para resolver la recursividad de forma explícita (que no estoy optimisitic) entonces me gustaría recomendar un mayor estudio de esta matriz. Tal vez puede ser diagonalized, y que daría paso a una fórmula para $f^{(n)}$.

Answer 3

Deje $y=e^{x^2}$. Queremos encontrar a $\frac{d^n y}{dx^n}$.

Tenga en cuenta que$\ln y = x^2$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x\iff \frac{dy}{dx}=2xy$.

La diferenciación de nuevo los rendimientos:

$\frac{d^2y}{dx^2}=2x\frac{dy}{dx}+2y$,

$\frac{d^3 y}{dx^3} = 2x \frac{d^2 y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx}$,

$\frac{d^4 y}{dx^4} = 2x \frac{d^3 y}{dx^3} + 6\frac{d^2 y}{dx^2}$.

Podríamos adivinar que $\frac{d^n y}{dx^n} = 2x \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+2(n-1) \frac{d^{n-2} y}{dx^{n-2}}$, lo cual es demostrado fácilmente por simple inducción (dejamos como ejercicio para el lector. ;) )

Deje $u_k=\frac{d^k y}{dx^k}$ para facilitar la notación. Por lo tanto, han establecido

$u_n = 2x u_{n-1}+2(n-1)u_{n-2}$.

Es fácil encontrar que el coeficiente de $x^n y$$u_n$$2^n$, pero yo no estoy viendo ninguna buena manera de resolver la recursión en el momento.

Answer 4

Otro enfoque es escribir:$$f(x+y)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x)}{n!} y^n$$

Ahora $f(x+y)=f(x)f(y)e^{2xy}$. Así que si dejamos $g_n(x)=f^{(n)}(x)/f(x)$, entonces podemos ver que:

$$f(y)e^{2xy} = \sum_{n=0}^\infty \frac{g_n(x)}{n!}y^n$$

Pero $$f(y)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} y^{2k}$$ and $$e^{2xy} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(2x)^m}{m!}y^m$$

Así:

$$f(y)e^{2xy} = \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!} \sum_{m+2k=n} \frac{(2x)^m n!}{m!k!}$$

lo que nos da $$g_n(x)=\sum_{m+2k=n} \frac{(2x)^m n!}{m!k!}=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{2^{n-2k}n!}{(n-2k)!k!}x^{n-2k}$$

Y $f^{(n)}(x)=f(x)g_n(x)$.

Answer 5

Los problemas relacionados con (I), (II), (III), (IV), (V), (6), (7). Ya he publicado una solución en este sitio web relacionado con este.

Aquí está la primera fórmula, que sólo da el $n$th derivados del entero orden de ${\rm e}^{x^2}$

$$ {{\rm e}^{{x}^{2}}}\sum _{s=0}^{n} \left( {x}^{2\,s-n}\sum _{k=0 }^{n}{2}^{k+s} \left[\matriz{n\\k+s}\right] \left\{\matriz{k+s\\s}\right\} \right)\,, $$

donde $\left[\matrix{n\\k+s}\right]$ $\left\{\matrix{k+s\\s}\right\}$ son los números de Stirling de primera clase y segunda clase , respectivamente.

La segunda fórmula es más general. Es una fórmula unificada para la $n$th derivado y el $n$th anti derivada de reales órdenes (incluyendo entero órdenes) de ${\rm e}^{x^2}$ en términos de la Meijer $G$-función,

$$ \left( -1 \right)^{\frac{n}{2}}{2}^{n} G^{1, 2}_{2, 3}\a la izquierda(-{x}^{2}\, \Big\vert\,^{-\frac{n}{2}, -\frac{n}{2}+\frac{1}{2}}_{-\frac{n}{2}, \frac{1}{2}, 0}\right)\,.$$

Tenga en cuenta que,

(i) si $n > 0$, entonces la fórmula se obtiene de los derivados de la orden $n$ ($n$ puede ser entero o real ).

(ii) si $ n<0 $, entonces la fórmula se obtiene anti-derivadas de orden $n$ ($n$ puede ser entero o real).

(iii) si $n=0$, luego le da a la función original.

Ver referencias (I) y (II) para los detalles.