$\forall n \in \mathbb{N} :|f^{(n)}(x)|\leq \frac{1}{n+1}$

Question

Supongamos $x>0$ y tenemos la función $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ ¿cómo podemos mostrar $$\forall n \in \mathbb{N} :|f^{(n)}(x)|\leq \frac{1}{n+1}$$ I need a hint to show this property .Thanks in advance . I tried for $n=1 ,2$ by finding maximum of $|f'| ,|f"|$ but I get stuck to show for $$n

Answer 1

Desde $$ \frac{\sin(x)}{x} = \int_{0}^{1} \cos(tx) dt$$

con la debida justificaciones (diferenciación bajo el signo integral) puede derivar

$$\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{(n)} = \int_{0}^{1} t^n \cos(tx+n\pi/2) dt$$ que de inmediato se produce el quería estimación.

Answer 2

Ver que,
$$\frac{\sin x}{x} =f(x) = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{-itx} dt$$

Entonces $$|f^{(n)}(x)| =\left|\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} (-it)^ne^{-itx} dt\right| \le\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} |t|^n dt=\int_0^1t^n\,dt=\frac1{n+1}.$$

Answer 3

Sugerencia : Combinar el kernel de Dirichlet para la siguiente desigualdad :

$$\frac{1}{2n+1}\geq\frac{1}{(2n+1)^2}|\frac{sin((n+0.5)x)}{sin(0.5x)}|\geq \frac{1}{(2n+1)^2}|\frac{sin((n+0.5)x)}{0.5x}|$$

Y utilizar el mismo razonamiento inductivo como Emil Artin para esta prueba relativa a la función Gamma .