cerrado subgrupo de un grupo topológico

Question

Hoy en día un alumno me pregunta la siguiente pregunta en relación topológica de los grupos en el tutorial del centro.

Deje $H$ ser un subgrupo de un grupo topológico $G$. Supongamos que $U$ es un abierto que contiene la identidad tal que $\overline{U} \cap H$ es cerrado. Demostrar que $H$ es cerrado.

Estoy un poco oxidado en el punto de establecer la topología de tal manera que no podía encontrar una solución adecuada. He intentado un enfoque directo sin éxito:

Deje $x \in \overline{H}$, queremos mostrar que $x \in H$. Desde $e \in U$$x \in xU$, y podemos tomar un elemento $y \in xU \cap H$, por lo $y = xa = h$ para algunos $a \in U$, $h\in H$, por lo $x = ha^{-1}$

Tratando de demostrar que $a^{-1} \in H$, quiero usar de alguna manera que $\overline{U} \cap H$ está cerrada, pero estoy atascado en este punto. Me gustaría poder dedicar más tiempo para resolver el problema y la revisión de las propiedades básicas de los grupos topológicos, pero unfortunely estoy overhelmed con mis propias cosas.

Answer 1

Primero, un poco de punto de ajuste de la topología: $\bar U \cap H$ cerrado es equivalente a $U \cap H$ es cerrado en $U$.

Segundo, por la homogeneidad, para cada $h\in H$ existe $U_h$ barrio de $h$, de modo que $U_h \cap H$ es cerrado en $U_h$ ( tome $U_h = h\cdot U$)

Lo anterior signica que $H$ es cerrado en $G$. Esto es equivalente a : $H$ es la intersección entre un conjunto cerrado y un conjunto abierto, o, lo que es realmente después de: $H$ se encuentra abierta en su cierre de $\bar H$.

Ahora, $\bar H$ es un grupo topológico ( con la topología inducida por. Ahora vamos a recordar: abrir un subgrupo de un grupo topológico también está cerrada. De hecho, cualquier coset será abierto, por lo que cualquier unión de cosets. Por lo tanto, $H$ también está cerrado en $\bar H$, y tan igual a $\bar H$, cerrado.

Mensaje principal: un local cerrado subgrupo está cerrado.

Answer 2

Supongamos $x\in\overline{H}$. Deje $V$ ser un barrio de $1$ tal que $VV^{-1}\subseteq U$. Desde $Vx$ es un barrio abierto de $X$, $x\in\overline{H\cap Vx}$. Ahora recoger algunas $y\in H\cap Vx$ y multiplicar todo por $y^{-1}$ a la derecha. Llegamos a la conclusión de que $xy^{-1}\in\overline{Hy^{-1}\cap Vxy^{-1}}$. Desde $H$ es un subgrupo y $y\in H$, $Hy^{-1}=H$. También, desde $y\in Vx$, $xy^{-1}\in V^{-1}$ por lo $Vxy^{-1}\subseteq VV^{-1}\subseteq U$. Así $$xy^{-1}\in\overline{H\cap U}\subseteq \overline{H\cap\overline{U}}=H\cap \overline{U}.$$ In particular, $xy^{-1}\in H$, so since $s\in H$ and $H$ is a subgroup, $x\in H$.

Answer 3

Deje $(x_n, n\in I)$ ser una red donde $A$ es un conjunto dirigido. Supongamos $x=lim_nx_n, x_n\in H$, escribir $y_n=x^{-1}x_n$, $lim_ny_n=e$, existe $N$ tal que $n>N$ implica que el $y_n\in U$. Vamos $n_0>N$ $z_n=x_n^{-1}x_{n_0}$, $lim_nz_n=x^{-1}x_{n_0}\in U$ implica que existe $M$ tal que $n>M$ implica que $x_n^{-1}x_{n_0}\in U\cap H\subset\bar U\cap H$ podemos deducir que, $x^{-1}x_{n_0}=lim_{n\geq M}x_n^{-1}x_{n_0}\in \bar U\cap H$ desde $\bar U\cap H$ es cerrado. Esto implica que $x^{-1}x_{n_0}\in H$$x\in H$.

https://en.wikipedia.org/wiki/Net_(matemáticas)#Propiedades