Pero en algunos casos raros puede suceder que esto no sea el caso, notoriamente cuando la suma de A y B forma un número par y A y B, tomados por separado, son dos números impares.

Question

Podría la suma de un número par de los distintos números impares ser divisible por cada uno de los números impares ?

Deje $k\geq 4$ ser un número par. Se puede encontrar la $k$ distintos positiva de los números impares $x_1,\ldots,x_k$ de manera tal que cada una de las $x_i$ divide $S = \sum_{i=1}^k x_i$ ?

Es posible que, al menos, para $k$ lo suficientemente grande ?

Answer 1

Sí, es posible. Divida su suma por $S$ y tiene

$$1=\sum_i \frac {x_i}S$$

que es un Egipcio fracción expresión de $1$ donde todos los denominadores tienen el mismo número de factores de $2$. Esto es conocido por ser solucionable con todos los denominadores impares, pero todas las soluciones conocidas tienen un número impar de términos. Una encuesta de papel está aquí. La sección de intereses es $9.5$. Un ejemplo es:

$$1=\frac 13+\frac 15+\frac 17 + \frac 19+\frac 1{11}+\frac 1{15}+\frac 1{35}+\frac 1{45}+\frac 1{231}$$

donde los denominadores han mínimo común múltiplo $3465$, de modo que podemos escribir:

$$3465=1155+693+495+385+315+231+99+77+15$$

con cada término de la división de la suma. Ahora bien, si añadimos $3465$ a cada lado, tenemos una solución con un número par de términos:

$$6930=3465+1155+693+495+385+315+231+99+77+15$$

Cualquier Egipcio fracción de la descomposición de $1$ en fracciones con denominadores impares de los rendimientos de una solución a su problema. La suma será de dos veces el mínimo común múltiplo de los denominadores en la descomposición. El estudio muestra que existe una descomposición de todos los números impares de términos $9$ o superior. Usted puede multiplicar cualquier solución por cualquier número impar de conseguir otro.