$xf(y)+yf(x)\leq 1$ todos los $x,y\in[0,1]$ implica $\int_0^1 f(x) \,dx\leq\frac{\pi}{4}$

Question

Quiero demostrar que si $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ es continua y $xf(y)+yf(x)\leq 1$ todos los $x,y\in[0,1]$ entonces tenemos la siguiente desigualdad: $$\int_0^1 f(x) \, dx\leq\frac{\pi}{4}.$$

El $\pi$ en el lado derecho sugiere tenemos que hacer algo con una forma geométrica de la función. Dejando $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ tenemos la igualdad, pero esta función no satisfacer $xf(y)+yf(x)\leq 1$.

Answer 1

Deje $I = \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx$.

Sustituyendo $x = \sin \theta$ rendimientos $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}f(\sin \theta)\cos\theta\,d\theta$.

Sustituyendo $x = \cos \theta$ rendimientos $I = \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}f(\cos \theta)\sin\theta\,d\theta$.

Por lo tanto, $I = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\left[f(\sin \theta)\cos\theta+f(\cos\theta)\sin\theta\right]\,d\theta \le \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}1\,d\theta = \dfrac{\pi}{4}$.

Answer 2

$$\int \limits _0 ^1 f(x) \Bbb d x = \frac 1 2 \int \limits _0 ^1 f(x) \Bbb d x + \frac 1 2 \int \limits _0 ^1 f(y) \Bbb d y = - \frac 1 2 \int \limits _{\frac \pi 2} ^0 f(\cos t) \sin t \Bbb d t + \frac 1 2 \int \limits _0 ^{\frac \pi 2} f(\sin t) \cos t \Bbb d t \le \frac 1 2 \cdot \frac \pi 2$$