Todas las raíces de $8x^3-6x+1$ son reales. (*)
El discriminante de $8x^3-6x+1$$5184=72^2$, por lo que la división de campo de la $8x^3-6x+1$ tiene el grado $3$.
Por lo tanto, todas las tres raíces puede ser expresado como polinomios en cualquier raíz.
De hecho, si $a$ es una raíz, entonces los otros se $2a^2-1$$-2a^2-a+1$.
Esto se puede comprobar fácilmente. Pero ¿cómo podemos encontrar de estas expresiones en el primer lugar?
He intentado esto: vamos a $b,c$ ser el otro raíces. Luego de Vieta fórmulas obtenemos $$b+c=-a, \qquad bc=-\dfrac{1}{8a}$$
La correspondiente ecuación cuadrática tiene discriminante $3-3a^2$ pero no es del todo claro que este es el cuadrado de un polinomio en $a$. (Es $(4 a^2+a-2 )^2=(b-c)^2$, como debe ser.) Estoy atascado aquí.
De manera más general, hay un algoritmo que dado cúbico con coeficientes enteros y tener real de la división de campo de grado $3$, expresa todas las tres raíces de polinomios en cualquier raíz?
(*) A partir de la triple ángulo de fórmula $\sin (3\theta) = - 4\sin^3\theta + 3\sin\theta$ al $\sin (3\theta) = 1/2$, estas raíces son $\sin(10^\circ)$, $\sin(50^\circ)$, $\sin(-70^\circ)$, pero tal vez esto es irrelevante aquí.
