Expresar las raíces de un cúbicos como polinomios en una raíz

Question

Todas las raíces de $8x^3-6x+1$ son reales. (*)

El discriminante de $8x^3-6x+1$$5184=72^2$, por lo que la división de campo de la $8x^3-6x+1$ tiene el grado $3$.

Por lo tanto, todas las tres raíces puede ser expresado como polinomios en cualquier raíz.

De hecho, si $a$ es una raíz, entonces los otros se $2a^2-1$$-2a^2-a+1$.

Esto se puede comprobar fácilmente. Pero ¿cómo podemos encontrar de estas expresiones en el primer lugar?

He intentado esto: vamos a $b,c$ ser el otro raíces. Luego de Vieta fórmulas obtenemos $$b+c=-a, \qquad bc=-\dfrac{1}{8a}$$

La correspondiente ecuación cuadrática tiene discriminante $3-3a^2$ pero no es del todo claro que este es el cuadrado de un polinomio en $a$. (Es $(4 a^2+a-2 )^2=(b-c)^2$, como debe ser.) Estoy atascado aquí.

De manera más general, hay un algoritmo que dado cúbico con coeficientes enteros y tener real de la división de campo de grado $3$, expresa todas las tres raíces de polinomios en cualquier raíz?

(*) A partir de la triple ángulo de fórmula $\sin (3\theta) = - 4\sin^3\theta + 3\sin\theta$ al $\sin (3\theta) = 1/2$, estas raíces son $\sin(10^\circ)$, $\sin(50^\circ)$, $\sin(-70^\circ)$, pero tal vez esto es irrelevante aquí.

Answer 1

Basado en las respuestas a esta pregunta, soy capaz de terminar el caso general.

Deje $x^3+px+q$ ser un cúbicos con coeficientes racionales y tener real de la división de campo de grado $3$. Deje que sus raíces se $a,b,c$. Entonces $$b+c=-a, \qquad bc=-\dfrac{q}{a}$$ y $b,c$ son las raíces de la ecuación cuadrática $$h(x)=(x-b)(x-c)=x^2+ax-\dfrac{p}{a}$$ El discriminante de $h$$b-c$. Ahora viene la buena idea de las respuestas a esas preguntas: $$d=(a-b)(a-c)(b-c)=h(a)(b-c)$$ donde $d^2=-4p^3-27q^2$ es el discriminante de la original cúbicos. La hipótesis sobre el cúbicos implica que $d$ es racional. Por lo tanto, $$b-c = \dfrac{d}{h(a)}$$ Para escribir esto como un polinomio en $a$, se resuelve el sistema lineal en $A,B,C$ implícita por $$d=(Aa^2+Ab+C)h(a)=(Aa^2+Ab+C)(2a^2-\dfrac{p}{a})$$ o $$ad=(Aa^2+Ab+C)(2a^3-q)=(Aa^2+Ab+C)(-2pa-3t)$$ La solución es $$A=-\dfrac{6p}{d}, \quad B=\dfrac{9q}{d}, \quad C=-\dfrac{4p^2}{d}$$ lo que da $$b,c = -\dfrac{a}{2} \pm \dfrac{1}{2}(Aa^2+Ab+C)$$