¿Dos elementos cualesquiera de los órdenes 4 y 6 generarán SL(2,Z)?

Question

Es decir, si $A,B$ son matrices en $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$ con órdenes 4 y 6 respectivamente, es $\text{SL}_2(\mathbb{Z}) = \langle A,B\rangle$ ?

Answer 1

No. Si $a$ y $b$ son los generadores estándar de $G={\rm SL}(2,{\mathbb Z})$ de pedidos $4$ y $6$ entonces $a$ y $(ab)^{-1}b(ab)$ por ejemplo, no generan $G$ . Esto no es difícil de ver por el hecho de que, modulando el centro $Z = \langle a^2 \rangle$ del grupo, $G/Z \cong C_2 * C_3$ es el producto libre de grupos de orden $2$ y $3$ generado por $aZ$ y $bZ$ . El subgrupo que generan no contiene $b$ .