No degenerada formas bilineales y invertible matrices

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Mostrar que un bilineal simétrica forma es no degenerada si y sólo si su matriz en una base es invertible

Ok, así que ambas direcciones "si no degenerada, entonces la matriz es invertible" y "si la matriz es invertible, entonces la forma es no degenerada" tienen que ser probado para este.

Para la primera dirección. Si la forma bilineal no degenerada su espacio nulo es $\left\{0\right\}$, por lo que para cada $v \neq 0$ existe un $v'$ tal que $\langle v, v' \rangle \neq 0$, por lo que no hay cero autovalores, estoy bastante seguro de que esto de alguna manera implica el determinante de la matriz es también distinto de cero, ya que es el producto de los valores propios y, por lo tanto invertible (pero no está seguro de cómo mostrar este).

En el otro sentido, si la matriz es invertible, entonces el determinante es distinto de cero y, si mi suposición es correcta, esto implica que no hay cero vectores propios, lo que implica que el espacio nulo es $\left\{0\right\}$ y de ahí no degenerada?

Gracias por la orientación, las notas que tengo sobre este tema son bastante buenos, así que estoy teniendo un tiempo difícil entender del todo lo. Gracias de nuevo.

Answer 1

Permítanme suponga que tiene una forma bilineal $q : V \times V \to F$ donde $V$ es finito-dimensional espacio vectorial sobre el campo $F$. Fijar una base $\beta = \{e_1,\dotsc,e_n\}$$V$, el cual se define la correspondiente base dual $\beta^\ast = \{e_1^\ast,\dotsc,e_n^\ast\}$$V^\ast$.

En primer lugar, compruebe que el $q$ define una transformación lineal $Q : V \to V^\ast$ $Q(v) := q(v,\cdot)$ satisfacción $\ker Q = \ker q$. Ahora, ya que para cualquier $\phi \in V^\ast$, $\phi = \sum_k \phi(e_k) e_k^\ast$, $$ Q(e_k) = \sum_j Q(e_k)(e_j) e_j^\ast = \sum_j q(e_k,e_j) e_j^\ast = \sum_k q(e_j,e_k)e_j^\ast $$ para cada una de las $k$, y por lo tanto la matriz de $[Q]_{\beta^\ast\beta}$ $Q$ con respecto a las bases de $\beta$ $\beta^\ast$ es precisamente la matriz de $[q]_\beta$ $q$ con respecto al $\beta$. Como resultado, la matriz de interés $[q]_\beta$ es invertible si y sólo si la transformación lineal $Q$ es invertible.

Así que, vamos a recoger lo que sabemos:

1. $[q]_\beta = [Q]_{\beta^\ast\beta}$, por lo que el $[q]_\beta$ es invertible si y sólo si $Q$ es invertible.
2. $\ker q = \ker Q$, por lo que el $q$ es no degenerada si y sólo si $Q$ es inyectiva.
3. $\dim V = \dim V^\ast$, por lo que por el rango-nulidad teorema, $Q : V \to V^\ast$ es inyectiva si y sólo si es surjective.

¿Qué se puede concluir?

Answer 2

Yo también propuso la pregunta, pero (creo que) se resolvió a mí mismo antes de leer nada de esto. Sabemos que cualquier forma bilineal puede ser representado como $X^T * (n \times n \text{ matrix}) * Y$ donde $X^T$ $Y$ $n$- dimensiones de espacios vectoriales.

La definición que tengo de una degenerada forma bilineal es que $B ( X, Y) = 0$ todos los $X\Longrightarrow Y = 0$ ; un poco complicado no?

Probar el contrapositivo -- existe un no-vector cero $Y$ tal que para todo $X, B (X, Y) = 0$

Empezar con cero $Y$, y la extendemos a una nueva base para un espacio vectorial. Esto hace que $Y$ igual al vector de columna $( 1, 0, . . . , 0 )$.

Ahora, considere el vector de fila $X^T$ * matriz de $B$ en la nueva base, para obtener el $B ( X , Y)$ a cero, todos los $X$ debe transformar a un vector fila con 0 en la primera posición. Esto implica que la matriz tiene una fila cero, por lo tanto no es invertible.

Answer 3

Poco después de Branimir publicado su solución hice la realización de una prueba, y yo pensé que había puesto como una respuesta.

El nullspace de la forma bilineal es el conjunto de vectores $v$ de manera tal que las coordenadas de a $v$ es una solución de la ecuación homogénea $AX=0$ donde $A$ es la matriz de la simetría del formulario w.r.t una base. La forma corresponde a la del producto $X^TAY$ así que si $Y$ es un vector tal que $AY = 0$, entonces esto implica también que $X^TAY = 0$ todos los $X$ e lo $Y$ está en el espacio nulo. Ahora supongamos que $AY \neq 0$, $AY$ tiene al menos un cero de coordenadas, por lo que uno de los productos no es cero, por lo $Y$ no es un vector nulo. Así, vemos que si un formulario es no degenerada, entonces la única solución a $AX=0$ es al$X=0$, lo que implica que $A$ es invertible.

Para hacer la otra dirección, si $A$ es invertible, se puede fila reducido a la matriz identidad, lo que implica que la única solución a $AX = 0$ es al $X=0$, que es el nullspace de la forma es $\left\{0\right\}$ y, por tanto, la forma es no degenerada.