Un ideal primario (en un anillo conmutativo con unidad) es un ideal $J$ para lo cual si $ab\in J$ Entonces, o bien $a\in J$ o $b^n\in J$ para algún número entero $n\geq 1$ . Así que también implica (debido a la conmutatividad) que si $ab\in J$ entonces $a^m,b^n\in J$ para algunos enteros $m,n\geq 1$ .
¿No sería esta última una definición más agradable para un ideal primario? ¿Por qué no se utiliza?
Su "implica" es erróneo, es posible que $ab \in J$ et $a \in J$ pero $b \notin J$ .
Por ejemplo, cualquier ideal primo es primario, pero no satisface necesariamente su condición....
Añadido: P.S. Creo que la condición equivalente que buscas es la siguiente: siempre que $ab \in J$ o bien ( tenemos uno de $a$ o $b$ en J ) O ( $a^m,b^n\in J $ para algunos enteros $m,n$ .)
Pero entonces, la definición estándar es mucho más limpia.
Su criterio no es correcto tal y como está planteado: si $a \in J$ no es necesario que algún poder de $b$ está en $J$ .
Otra definición es que los zerodivisores en $R/J$ son nilpotentes. Si $R$ es noetheriano, entonces esto equivale a decir que $J$ tiene exactamente un primo asociado. Esto es lo realmente importante, y lo que realmente se utiliza cuando se necesitan hipótesis primarias.
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