Una prueba directa sobre si $(X, ||\cdot ||)$ es una normativa espacio vectorial y $Y\subset X$, $Y$ tener dimensión finita, entonces $Y$ es cerrado.

Question

Estoy tratando de producir una prueba directa en la declaración mencionada anteriormente. El campo en el que estoy trabajando en el es $\mathbb{R}$. Mi prueba de contorno va de la siguiente manera:

Si $Y$ es finito-dimensional, existe una base $(e_1,\dots,e_n)$ $n<\infty$ de manera tal que todos los $y\in Y$ puede ser escrito como $y = \sum_{i=1}^n a_i e_i$ $(a_1,\dots,a_n)$ constantes en $\mathbb{R}$. Así que tengo que tomar una secuencia $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en Y que converge a algún elemento en $X$.

Aquí es donde mi argumento es muy difusa. Como $X$ no es necesariamente finito dimensionales, lo que yo entiendo es que si podemos pensar en la secuencia como la convergencia de algunos $(x_1,x_2,\dots, x_{n-1},x_n,0,0,0,0,\dots)$, es esto correcto?

Yo estoy pegado en esto y no sé cómo proceder. Cualquier idea se agradece.

Answer 1

Basado en su estado de cuenta del problema, no asuma que $X$ es cerrado. Así que no creo que está claro en la parte delantera, que el límite de una secuencia es un elemento de $X$.

En cambio aquí es una sugerencia. Suponga $(y_k)_{k=1}^\infty$ es una secuencia de cauchy. Expresa cada una de las $y_k = a_{1,k}e_1 + \cdots a_{n,k}e_n$ el uso de su base. El uso de la definición de cauchy para demostrar que para cada una de las $i$, la secuencia de $(a_{i,k})$ es una secuencia de cauchy de números reales, que entonces debe haber un límite de $a_i$. Entonces demostrar que $y_k \to a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n$.

Answer 2

Suponga que $\{e_1,\ldots,e_k\}$ es una base de $Y$. Vamos $$ d=\inf_{\lvert c_1\rvert+\cdots+\lvert c_k\rvert=1}\|c_1e_1+\cdots+c_ne_k\|. \etiqueta{1} $$ Claramente, $d>0$, ya que el conjunto de $K=\{(c_1,\ldots,c_k):\lvert c_1\rvert+\cdots+\lvert c_k\rvert=1\}$ es compacto, y $f(c_1,\ldots,c_k)= \|c_1e_1+\cdots+c_ne_k\|$ es continua y no de fuga en $K$.

$(1)$ ofrece la siguiente desigualdad: $$ \|c_1e_1+\cdots+c_ne_k\|\ge d\big(\lvert c_1\rvert+\cdots+\lvert c_k\rvert\big), $$ ahora, para todos los $c_1,\ldots,c_k\in\mathbb R$ (o $\mathbb C$).

Supongamos ahora que $\{y_n\}$ es una secuencia de Cauchy en $Y$, e $y_n=c_{n,1}e_1+\cdots+c_{n,k}e_k$. A continuación, para cada $\varepsilon>0$, existe un $n_0$, de tal manera que $m,n\ge n_0$ implica que $$ \varepsilon>\|y_m-y_n\|=\|(c_{m,1}-c_{n,1})e_1+\cdots+(c_{m,k}-c_{n,k})e_k\|\ge d\big(\lvert c_{m,1}-c_{n,1}\rvert+\cdots+\lvert c_{m,k}-c_{n,k}\rvert\big), $$ lo que implica que todas las secuencias de $\{c_{n,k}\}_{n\in\mathbb N}$ son de Cauchy, y por lo tanto,$c_{n,k}\to c_k$, y por lo tanto $$ y_n\a y=c_1e_1+\cdots +c_ke_k\Y. $$ De hecho, $Y$ es cerrado.

Answer 3

Sugerencia: Si $x_n\rightarrow x$, luego de reducir a lo finito dimensional caso mediante la adición de $x$ a la base y el uso de la heredada de la norma.