¿CÓMO SE DEBE ESTRUCTURAR UNA RED?

Question

Ya que el buen viejo Teorema de Noether en última instancia establece que cualquier sistema físico se presentan cantidades conservadas, cómo deben ser tratados mejor en resolvedores numéricos?

Por un lado, se puede observar la propagación numérica de tales cantidades y el uso de su desviación de la conservación como indicador en la solución de la calidad, e.g con el fin de adaptarse a un paso de tiempo o el tamaño de la malla.

Por otro lado, uno puede tratar y redactar un solver tal que la conserva las cantidades son implícitamente conservada (en más o menos todas las circunstancias). Que lleva un indicador en la solución de calidad, pero no parece estar justificada la esperanza de que en cambio el solver es simplemente "mejor".

Hay más detallada de los debates sobre cuál de estas posibilidades es "mejor" y por qué?

Answer 1

En numérico de la PDE, especialmente relacionados con las leyes de conservación $\partial_t u - \nabla \cdot\mathbf{F}(u) = g$, hay una clase de métodos numéricos tener propiedades conservadoras. Por ejemplo: Volumen Finito Métodos (FVM), y FVM del orden superior contraparte de Galerkin Discontinuo Métodos o combinación de Métodos de elementos Finitos.

• "la conservación de locales de flujo" de Volumen Finito método: de simple estacionaria de la ecuación de difusión de la $-\Delta u = f$, la solución numérica $u_h$ satisface: $$ \int_{\partial K} \frac{\partial u_h}{\partial n} dS = \int_K f \etiqueta{1} $$ donde $K$ es un volumen de control de la original de la triangulación de Delaunay. El control de volumen es el de la teselación de Voronoi doble a la triangulación de Delaunay (línea de puntos del polígono en la figura siguiente):

• Si añadimos el tiempo en la ecuación: $\partial_t u - \Delta u = f$, los locales de conservación de flujo (1) todavía va a ser satisfechos en cada paso de tiempo, si usted finitos de volumen de método. Debido a su sencilla aplicación de esta bonita propiedad, FVM es muy popular en la dinámica de fluidos computacional tratar con flujo incompresible. Una referencia de la FVM sería esta nota.

• Galerkin discontinuo métodos son muy populares en los últimos años entre las aplicaciones de ingeniería. En que es la generalización de la FVM a las de orden superior aproximación numérica.

• Método de elementos Finitos mixtos (MFEM) abraza el otro tipo de idea hacia la conservación de flujo, para $-\Delta u = f$. MFEM descomponer la segunda orden de la PDE en un sistema de primer orden: $$\begin{cases}\boldsymbol{\sigma} +\nabla u = 0 \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f \end{casos}\etiqueta{2}$$ y resolver para el aproximado de flujo de $\boldsymbol{\sigma}$ en un espacio discreto directamente, por lo que el numéricos de flujo de $\boldsymbol{\sigma}_h$ ha débil de conservación de flujo, en términos de: $$ \int_T \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} \phi = \int_T f \phi $$ en un simplex de la triangulación de Delaunay donde $\phi$ es una función de prueba en el espacio de aproximación de $u$.

• Otros numérico de la PDE métodos como Continua Galerkin métodos de elementos Finitos (CGFEM), Métodos de las diferencias Finitas (FDM) no tiene alguno de estos tipos de conservación.

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Para resumir: FVM y algunos esquemas de Galerkin Discontinuo métodos de abordar la conservación directamente por la solución de la ecuación de conservación en la aproximación de espacio. MFEM impone la conservación débilmente. CGFEM no tienen ningún tipo de conservación.

• Que es mejor? No hay una sola respuesta definitiva. Todo es acerca de la negociación de diferentes bondadoso y amable aspectos de cada enfoque. DGM tiene locales de conservación de flujo, pero se pierde la continuidad y necesidades adicionales de estabilización de los términos en la débil formulación. CGFEM tiene continuidad y es estable, pero no de conservación. MFEM tiene un poco de ambos, pero necesita una gran cantidad extra de recursos computacionales debido a que usted tiene que resolver una cantidad adicional.

• Cuál elegir? Para ecuaciones en derivadas parciales en los que la discontinuidad que existe, y se propaga a una velocidad finita, por ejemplo, el transporte lineal a lo largo de un campo de flujo $\mathbf{a}$: $\partial_t u - \nabla\cdot (\mathbf{a}u) = 0$. La elección de un esquema de direcciones de conservación deberían oponerse a elegir algo como CGFEM. Para ecuaciones en derivadas parciales donde las discontinuidades se propagan a una velocidad infinita, y se resolvió de inmediato, como la ecuación de difusión de la $\partial_t u - \nabla\cdot(\alpha \nabla u) = f$. La elección de CGFEM sería mejor en el sentido de que es estable.