Pregunta en $\frac{d}{d \ln{x}}$

Question

Suponga que tiene el siguiente operador: $$ \left( \frac{d}{dx}\circ x -1 \right), $$ donde $\frac{d}{dx}\circ x$ significa "multiplicar por $x$ y, a continuación, tomar la derivada del producto". La aplicación de este en $(\ln {x})^m$ da $$ \left( \frac{d}{dx}\circ x -1 \right)(\ln x)^m= \frac{d}{dx} x (\ln x)^m - (\ln x)^m = (\ln x)^m + m(\ln x)^{m-1} - (\ln x)^m =m(\ln x)^{m-1} $$ Esto más o menos se parece a $\frac{d}{dx}x^m=mx^{m-1}$. Así que me estoy preguntando si $$ \frac{d}{d \ln{x}} = \left( \frac{d}{dx}\circ x -1 \right) $$ es cierto en general o sólo cuando me lo aplico en $(\ln x)^m$?

Answer 1

Parece que sí, porque $$ \frac{d f(x)}{d \ln(x)} = \frac{df(e^t)}{dt} = e^t f'(e^t) = xf'(x) = f(x)+xf'(x)-f(x)=\frac{d(xf(x))}{dx} - f(x)$$