Demuestre que d es una métrica si cumple la desigualdad del triángulo y $d(x,y)=0\iff x=y$

Question

Tengo el siguiente ejercicio:

$M$ es un conjunto no vacío y $d: M\times M \to \mathbb R$ y aplicación tal que:

a) $d(x,y)=0\iff x=y$

b) $d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)$

demostrar que $d$ es una métrica

¿No son ésas dos de las propiedades de un espacio métrico? Además, ¿no sería $b)$ implican que:

$$d(x,x)\le d(x,y)+d(y,x) \implies 0 \le d(x,y)+d(y,x)$$

que si aceptamos que $d(x,y) = d(y,x)$ :

$$0 \le 2d(x,y) \implies d(x,y) \ge 0$$ ?

Entonces, ¿no sería necesario que un espacio métrico tuviera sólo:

$$d(x,y)\ge 0$$ $$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$$ $$d(x,y)=0\iff x=y$$ ?

¿Qué es lo que no entiendo aquí?

ACTUALIZACIÓN: la pregunta correcta es:

$M$ es un conjunto no vacío y $d: M\times M \to \mathbb R$ y aplicación tal que:

a) $d(x,y)=0\iff x=y$

b) $d(x,z) \le d(x,y)+d(z,y)$

demostrar que $d$ es una métrica

Answer 1

Así que tienes una función $d: M\times M \to \mathbb R$ satisfactorio -

a) $d(x,y)=0\iff x=y$

b) $d(x,z) \le d(x,y)+d(z,y)$

Como has apuntado, sólo tienes que demostrar que toma valores no negativos y que se cumple la propiedad de simetría. También tienes que demostrar la desigualdad del triángulo (que es obvia desde (b) una vez que has demostrado la simetría)

Para mostrar la no negatividad (como has hecho) - $$d(x,x)\le d(x,y)+d(x,y) \implies 0 \le 2d(x,y)\implies d(x,y)\ge0$$

Para mostrar la simetría jugamos con (b)-

Tomando $y=x$ en (b) obtenemos, $$d(x,z)\le d(x,x)+d(z,x) \implies d(x,z) \le d(z,x)$$ Del mismo modo, el intercambio de $x$ y $z$ y tomando $y=z$ nos encontramos con que, $$d(z,x)\le d(z,z)+d(x,z) \implies d(z,x) \le d(x,z)$$ De modo que $$d(x,z)=d(z,x)$$