Al$L^p \subset L^q$$p <q$.

Question

Suponga que $(X, \mathfrak{B}, m)$ es una medida del espacio que existe una constante $\alpha>0$ tal que para cada a $E \in \mathfrak{B}$ el siguiente se tiene: $$ m(E)=0 \ \ or \ \ m(E)\geq \alpha.$$

Entonces es cierto que para cada $1\leq p \leq q \leq \infty$ $$L^p((X, \mathfrak{B}, m) \subset L^q(X, \mathfrak{B}, m)?$$

Yo sé que es verdad para los espacios de $l^p$ (es un caso particular de $L^p$ cuando $X=\mathbb{N}$, $\mathfrak{B}=2^\mathbb{N}$ y $m$ es un recuento de medida) -prueba de ello es, por ejemplo, aquí ¿Cómo se puede demostrar que $l_p \subset l_q$$p \leq q$?.

Mi pregunta está relacionada con el último teorema en la otra respuesta http://math.stackexchange.com/a/66038/20924 . Aquí está su prueba, pero no todo está claro para mí. Tengo una duda. Parece que aquí las siguientes igualdades: $$\|f\|_{L^p}=\sum_{j=1}^n a_j m(E_j)^{1/p},$$ $$\|f\|_{L^q}=\sum_{j=1}^n a_j m(E_j)^{1/q}$$ para $f(x)=\sum_{j=1}^n a_j \chi_{E_j}$ donde $E_j$ son pares distintos, que generalmente no no es verdad, incluso para$l^p$$l^q$.

Answer 1

Deje $f\in L^p(X,\mathfrak B,\mu)$. Definimos $A_n:=\{x\in X: n\leq |f(x)|<n+1\}\in\mathfrak B$. Tenemos $\sum_{n\geq 0}\int_{A_n}|f|^pd\mu<\infty$$\sum_{n\geq 0}n^p\mu(A_n)<\infty$. Por la hipótesis de $\mu$, $n$ lo suficientemente grande, decir $n\geq n_0$,$\mu(A_n)=0$. Así que si $q=\infty$ lo que hace y si $q<\infty $ hemos $$\int_{A_n}|f|^qd\mu\leq \mu(A_n)n^q,$$ que es el término general de una serie convergente, ya que es igual a$0$$n\geq n_0$. Por lo $\int_X|f|^q<\infty$$f\in L^q(X,\mathfrak B,\mu)$.