Estoy básicamente en tratar de contar la rejilla de puntos en un rectángulo que es hecho por las líneas que unen puntos que son "congruentes" a $0$ $\mathbb{R}^2$ o un plano complejo, para entender el significado geométrico del campo $Z[i]/\langle 2+4i\rangle$. Espero que la dibuja en el aquí y mostrar lo que quiero tratar, pero por desgracia no sé cómo hacer gráficas de las figuras así que sólo me explico:
Me voy a encontrar puntos que son congruentes a $0$ con el módulo de $2+4i$ y conectarse a ellos. que es, por ejemplo, los puntos como $2(2+4i)$, $3(2+4i)$, $(2+4i)(1-2i)=10$.
en particular, sabemos que 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no son congruentes a $0$. es decir, que no son divisibles por $2+4i$. así que me he conectado $0$, $2+4i$, $10$, y $8-4i$ hacer un rectángulo de modo que no hay ningún punto congruente a $0$ en este rectángulo. y contó el entramado puntos, consiguió $40$.
Vi varios ejemplos de que esto funciona con los ideales $\langle a+bi\rangle$, $\gcd(a,b)=1$. pero en este caso, el $\gcd$ no $1$. así que no estoy seguro de que este enfoque sigue siendo aplicable. es$40$, de hecho, el orden de $Z[i]/\langle 2+4i\rangle$?
Si no, ¿cómo explicar estos campos $Z[i]/\langle a+bi\rangle$ $\gcd(a,b)$ mayor que $1$ geométricamente?
