Calcular $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\prod\limits_{k=1}^{n}a_k}{2^n}$

Question

Calcular $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\prod\limits_{k=1}^{n}a_k}{2^n}$$ where $a_k=\sqrt{2+a_{k-1}}$ and $a_1=\sqrt{2}$.

Me resultó $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ existe y lo encontró (2), sino $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\prod\limits_{k=1}^{n}a_k}{2^n}$ es mucho más difícil para mí.

Answer 1

Asumiendo $a_n=2\cos\theta$, tenemos: $$ a_{n+1}=\sqrt{2+2\cos\theta} = 2\cos\frac{\theta}{2}\tag{1}$$ de ahí se sigue que: $$ a_n = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)\tag{2}$$ y: $$ \frac{1}{2^n}\prod_{k=1}^{n}a_n = \prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)=\frac{1}{2^n\sin\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)}\tag{3} $$ por el seno de la duplicación de la fórmula. Que da: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2^n}\prod_{k=1}^{n}a_k = \color{red}{\frac{2}{\pi}}=0.636619772\ldots \tag{4}$$