Se confunde con los números imaginarios

Question

En 9º grado tuve una discusión con mi profesor que

${i}^{3}=i$

donde $i=\sqrt{-1}$

Pero mi profesor insistió (como es el caso aceptado) en que:

${i}^{3}=-i$

Mi solución:

${i}^3=(\sqrt{-1})^3$

${i}^3=\sqrt{(-1)^3}$

${i}^3=\sqrt{-1\times-1\times-1}$

${i}^3=\sqrt{-1}$

${i}^3=i$

Solución generalmente aceptada:

${i}^3=(\sqrt{-1})^3$

${i}^3=\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}$

${i}^3=-\sqrt{-1}$

${i}^3=-i$

¿Qué tiene de malo mi enfoque? ¿No es lógico?

Estoy utilizando la raíz cuadrada positiva. Parece que hay algo sobre el orden en el que se debe elevar la potencia? Debe haber una razón lógica, y necesito ayuda para entenderlo.

Answer 1

En pocas palabras, la función raíz cuadrada no tiene un valor único. Así que no siempre se puede decir $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot \sqrt b$ . De lo contrario, también podría probar $1=-1$ de la siguiente manera: $1=\sqrt1=\sqrt{-1\cdot-1}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=(\sqrt{-1})^2=-1$ .

Answer 2

El error está en decir $i=\sqrt{-1}$ . La afirmación correcta es $i^2=-1$ y sólo podemos usar esta propiedad.

Así, $$ i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i $$

Nunca sustituto $\sqrt{-1}$ para $i$ : sólo conduce a errores, porque la identidad estándar $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ sólo se mantiene para real y no negativo números.

Answer 3

Aquí hay una prueba mejor que la "prueba generalmente aceptada" dada:

$i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$

Answer 4

Creo que siempre es más saludable evitar las raíces cuadradas. Si tuviéramos la igualdad $i^3=i$ entonces $$ -1=i\times i=i\times i^3=i^2\times i^2=(-1)(-1)=1. $$ O, simplemente, puedes comprobarlo: $i^3=i^2\times i=(-1)i=-i$ .

Answer 5

El número $\sqrt{-1}$ es una función de dos valores con valores $\{i,-i\}$ y de ahí la afirmación $$ \sqrt{-1}=i $$ no es cierto.

Si se define la función cuadrada en la rama principal, entonces se puede escribir $\sqrt{-1}=i$ pero no puedes pasar el poder a la plaza.