$X$ es localmente compacto, muestran que $A$ está abierto en $X$ fib $A\cap K$ está abierto en $K$ todos los $K$ compacto en $X$.

Question

He estado tratando de demostrar que si $X$ es localmente compacto, entonces $A$ está abierto en $X$ fib $A\cap K$ está abierto en $K$ todos los $K$ compacto en $X$.

La definición que he estado usando es que $X$ es localmente compacto si cada punto de $x$ tiene un pacto barrio.

Una implicación es obvia, pero para la segunda he estado tratando de usar ese $x\in A$ tiene un barrio de base $B$ de los compactos, por lo que el $x\in A\cap K$ todos los $K\in B$, y que se encuentra abierto en $K$ $(A\cap K)^\circ=A\cap K=A^\circ\cap K$ (el interior operetor se aplica en el espacio topológico $K$), por lo $x\in A^\circ$, y, a continuación, $A$ está abierto, pero creo que la igualdad de $$ (A\cap K)^\circ=A\cap K=A^\circ\cap K $$ no se sostiene.

Es esto una prueba? Si no, por favor, cualquier insinuación sería muy útil.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Observe que para cada compacto $K$ tenemos $A\cap K^{\circ}$ abierta en $K^{\circ}$, y por lo tanto abierto subsaet de $X$. Ahora $X= \cup_{K} K^{\circ}$ $A = \cup_K ( A\cap K^{\circ}) $ está abierto.

Answer 2

Deje $X$ ser localmente compacto y $A \subset X$ tal que para todo compacto $K\subset X$, $A \cap K$ está abierto en $K$. Deje $x \in A$, queremos mostrar que hay alguna vecindario $x \in U$ tal que $U \subset A$. Como $X$ es localmente compacto que garantiza un compacto $N_x$ tal que $x \in N_x^\circ$, el interior. Como $N_x$ es compacto, $A \cap N_x$ está abierto en $N_x$, es decir, existe un conjunto abierto $O$$O \cap N_x = A \cap N_x$. Entonces tenemos: $$O \cap N_x^\circ \subset O \cap N_x =A \cap N_x \subset A $$ Como $x \in O \cap N_x^\circ \subset A$ y $O \cap N_x^\circ$ es la intersección de abrir establece hemos encontrado el deseado barrio y a la conclusión de $A$ debe estar abierto.

Answer 3

No, esto no es correcto. No es cierto en general que el interior de $A\cap K$ $K$ es igual a (o es un subconjunto de) $A^\circ\cap K$. Por ejemplo, tomar $X=\mathbb{R}^2$, $K=\{(a,0)\in X\,|\,a\in[0,1]\}$ y $A=K$. Entonces el interior de $A\cap K$$K$$K$, pero $A^\circ\cap K=\emptyset\cap K=\emptyset$.