Supongamos $L$ $M$ son dos espacios vectoriales, cómo encontrar una base de $L+M$$L \cap M$?

Question

Deje $(1+t−t^3,1+t+t^2,1−t)$ $(t^3+t,2−t^3,2+t^3)$ dos bases de subespacios $L$$M$.

Encontrar una base de $L+M$$L\cap M$.

Creo $(1+t−t^3,\,1+t+t^2,\,1−t)$ probablemente podría ser expresado como $$ \begin{pmatrix} 1 & t & t^2 & t^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & 1 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}1 & 1 & -1 \\ \phantom{-}0 & 1 & \phantom{-}0 \\ -1 & 0 & \phantom{-}0 \end{pmatrix} $$ y $(t^3+t,2−t^3,2+t^3)$ podría ser expresado como $$ \begin{pmatrix} 1 & t & t^2 & t^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}2 & 2 \\ 1 & \phantom{-}0 & 0 \\ 0 & \phantom{-}0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$ Pero estoy atascado entonces.

Answer 1

Usted puede reemplazar la base $(1+t−t^3,1+t+t^2,1−t)$ por la más conveniente base

$$(2−t^3,t^3+t^2,1−t)$$

y reemplace $(t^3+t,2−t^3,2+t^3)$ por

$$(1,t,t^3)$$

De ello se desprende que $M\cap L$ contiene al menos $1-t,2-t^3$ y desde $L\neq M$ (por ejemplo, debido a $t^3+t^2$ no se encuentran en el intervalo de $(1,t,t^3)$), se deduce que el $\dim (L\cap M)$ debe ser igual a $2$ $(1-t,2-t^3)$ es una base para $L\cap M$. Para encontrar una base para $L+M$ usted puede comenzar con el conjunto de generadores $(2-t^3,t^3+t^2,1-t,1,t,t^3)$ y eliminar redundante de los generadores para obtener una base $$(1,t,t^2,t^3)$$

De hecho, $2-t^3,1-t$ ya están en el lapso de $(1,t,t^3)$, de modo que el único que no redundante generador es$t^3+t^2$, que puede ser sustituido por $t^2$ desde $t^3$ ya está en la base. Desde $1,t,t^2,t^3$ es linealmente independiente es una base de $L+M$. Se puede deducir que es linealmente independientes de la igualdad de $\dim(L+M)=\dim M+\dim L-\dim(L\cap M)=3+3-2=4$, demasiado.