Integral 2D de la función de Bessel y gaussianas

Question

Me he encontrado con la siguiente integral y no sé cómo evaluarla.

$$F(k)=\int d^{2}\mathbf{x}\left(e^{-\frac{\left(x-2a\right)^{2}}{4w^{2}}}+e^{-\frac{\left(x+2a\right)^{2}}{4w^{2}}}+2e^{-\frac{x^{2}}{4w^{2}}}\right)\left(e^{-\frac{\left(y-2b\right)^{2}}{4w^{2}}}+e^{-\frac{\left(y+2b\right)^{2}}{4w^{2}}}+2e^{-\frac{y^{2}}{4w^{2}}}\right)J_{0}(k\mid\mathbf{x}\mid)$$

Donde he escrito x tener componentes $x$ y $y$ y $a$ , $b$ y $w$ son todas constantes positivas.(Edición: la integral es sobre todo el espacio)

La razón por la que creo que esto se puede resolver es porque tengo la siguiente expresión que, con suerte, debería ser el resultado de evaluar esta integral.

$$F(k)=16\pi e^{-w^{2}k^{2}}(1+J_{0}(2bk)+J_{0}(2ak)+J_{0}(2k\sqrt{a^{2}+b^{2}})) $$

Estoy tratando de verificar el método de arriba como una forma de obtener este resultado, por lo que ya tengo una respuesta tentativa.

Puedo ver, por ejemplo, cómo obtener el $1$ término en la solución tentativa, así que tengo alguna esperanza de que esto se pueda hacer.

Si lo evaluara en coordenadas polares, una integral útil sería:

$$\intop_{0}^{2\pi}d\theta e^{\alpha\cos(\theta)+\beta\sin(\theta)}$$

Lo sé. $\intop_{0}^{2\pi}d\theta e^{\alpha\cos(\theta)}=2\pi I_0(\alpha)$ Lo cual es a la vez tranquilizador y preocupante, ya que me hace preguntarme si falta la parte superior integral $i$ .

¿Alguien tiene alguna idea de cómo evaluar cualquiera de estas integrales?

Answer 1

Para calcular la segunda integral, dejemos que $r=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ y observar que podemos escribir $(\alpha,\beta)=(r \cos\phi,r\sin\phi)$ para algún tipo de $\phi$ . La fórmula de la suma a los productos da entonces $$\alpha \cos\theta+\beta\sin\theta = r \cos\phi\cos\theta+r\sin \phi \sin\theta = r\cos(\theta-\phi).$$ Así que la integral se convierte en $$\int_0^{2\pi}\,d\theta e^{\alpha \cos\theta+\beta\sin\theta} = \int_0^{2\pi}\,d\theta e^{r \cos(\theta-\phi)}.$$ Como el integrando es periódico, podemos tomar $\theta\to\theta+\phi$ para eliminar $\phi$ sin cambiar los límites de integración y la respuesta es simplemente $2\pi I_0(r) = 2\pi I_0(\sqrt{a^2+b^2}).$

Answer 2

Gracias a Semiclassical, he podido resolver la integral y, efectivamente, ¡es mi conjetura original con funciones de Bessel!