No hay necesidad de usar el axioma de elección aquí. Supongamos $X$ es un infinito bien solicitar conjunto. Sostenemos que se trata de un conjunto ordenado $(Y,<)$ $Y$ de los estrictamente mayor cardinalidad de a $X$.
Para esto, considere el conjunto a $A$ de todas las relaciones binarias $R\subseteq X\times X$ tal que $R$ es un buen orden de un subconjunto de a $X$. Vamos a llamar a $X_R$ este subconjunto único.
Te presentamos una relación de equivalencia en $A$ estableciendo que $R_1\sim R_2$ fib $(X_{R_1},R_1)$ $(X_{R_2},R_2)$ son de orden isomorfo. Deje $Y$ el conjunto de clases de equivalencia.
Podemos bien el fin de $Y$ diciendo que $[R_1]<[R_2]$ fib hay una orden de isomorfismo de$(X_{R_1},R_1)$, para un adecuado segmento inicial de $(X_{R_2},R_2)$. Uno fácilmente se comprueba que $<$ está bien definido. Esto significa que si $R_1\sim R_3$$R_2\sim R_4$, $(X_{R_1},R_1)$ es isomorfo a un adecuado segmento inicial de $(X_{R_2},R_2)$ fib $(X_{R_3},R_3)$ es isomorfo a un adecuado segmento inicial de $(X_{R_4},R_4)$. También se verifica fácilmente que $<$ es un buen orden.
Finalmente, $Y$ tiene un tamaño estrictamente mayor que $X$. Para ver esto, observe primero que el $X$ inyecta de forma natural en $Y$, es decir, dado un buen orden $\prec$$X$, y cualquiera de los dos segmentos inicial $X_1$ $X_2$ $X$ bajo$\prec$, $X_1$ un adecuado segmento inicial de $X_2$, $[\prec\upharpoonright X_1]<[\prec\upharpoonright X_2]$. Pero cada punto de $X$ determina un segmento inicial de $X$.
Ahora, si hubo una inyección de $f$ $Y$ a $X$, entonces el rango de a $Z$ $f$ estaría bien hacer pedidos de una manera isomorfo a $(Y,<)$ mediante $f$ a copiar el buen orden $<$$Y$: Simplemente un conjunto de $f(a) R f(b)$ fib $a<b$ para las clases de $a,b\in Y$. Entonces tenemos una copia de $(Y,<)$ como un segmento inicial de $(Y,<)$ (de nuevo, mirando a segmentos inicial de $(Z,R)$), contradiciendo ese $<$ es un buen orden.
Lo anterior puede parecer complicado pero es sencillo: Todo lo que está diciendo es que un buen orden es menor que otro si es un segmento inicial, y este es un "pedido de compra". (Y tenemos que usar clases de equivalencia debido a diferentes órdenes de realidad, pueden ser isomorfos.)
Al $X$ es un countably conjunto infinito, el conjunto resultante $Y$ es bien ordenado e incontables, pero cualquier segmento inicial de $Y$ corresponde a un buen orden de $X$, por lo que es contable. Si quieres un set $B$ como se requiere, simplemente establezca $B=Y\cup\{*\}$ donde $*$ es algún punto no $Y$, ordenado por el simple hecho de hacer $*$ más grande que todos los elementos de a $Y$. A continuación, $\{a\in B\mid a<*\}$ es incontable, pero $\{c\in B\mid c<d\}$ es contable para cualquier $d\in Y$, es decir, para cualquier $d\in B$$d\ne *$.
Una vez que esté familiarizado con la construcción de los números ordinales, lo anterior puede ser simplificado un poco: en Lugar de utilizar una clase de equivalencia, que simplemente usamos el ordinal isomorfo a cualquier representante de la clase. El argumento anterior nos da que la colección de contables ordinales es en realidad un conjunto, y su unión es una (de hecho, en la primera) innumerables ordinal. Como cuestión de hecho, ni siquiera existe la necesidad de tener un sindicato. El conjunto de contables ordinales es ya un incontable número ordinal.
(El argumento anterior muestra que, dado cualquier conjunto ordenado hay un mayor bien-conjunto ordenado. Un argumento similar se da que si tenemos una familia de pedidos, podemos pegarlos juntos para conseguir un buen orden más grande que todos los pequeños de la familia.)
