Demostrar que la ecuación de $y^2 = x^3 + 7$ no tiene soluciones integrales.

Question

Demostrar que la ecuación de $y^2 = x^3 + 7$ no tiene soluciones integrales.

Answer 1

Ninguna de las soluciones publicado mira a la derecha (no creo que este problema admite una solución, sino con el modulo algunos entero, pero posiblemente estoy equivocado). Aquí es una prueba.

En primer lugar, buscando el modulo $8$ uno deduce necesitamos $x$ a un ser extraño.

Tenga en cuenta que $y^2 + 1^2 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$. Como el LHS es una suma de dos cuadrados, no de los números primos $3 \pmod{4}$ dividirla. Esto obliga a $x \equiv 3 \pmod{4}$ si $x \equiv 1 \pmod{4}$ $x+2$ tiene, obviamente, un primer factor de $3 \pmod{4}$. Pero, a continuación,$x^2 - 2x + 4 \equiv 3 \pmod{4}$, lo que implica la $x^2 - 2x + 4$ tiene un primer factor de $3 \pmod{4}$. Pero esto es una contradicción, por lo tanto no $x,y$ puede existir para satisfacer esta ecuación.

Answer 2

Aquí está la solución en Irlanda y Rosen (página 270).

Supongamos que la ecuación tiene una solución. A continuación, $x$ es impar. De lo contrario, la reducción del módulo 4 implicaría 3 es un cuadrado módulo 4. Escribir la ecuación como $$y^2+1=(x+2)(x^2-2x+4)=(x+2) ((x-1)^2+3) \ . \ \ \ (*)$$ Ahora desde $(x-1)^2 +3$ es de la forma $4n+3$ hay un primer $p$ de la forma $4n+3$ de su división y la reducción de la $(*)$ modulo $p$ implica que el $-1$ es un cuadrado modulo $p$ lo cual es una contradicción.

Answer 3

LHS ser un cuadrado perfecto debe tener "raíz digital" $1$,$4$,$7$ o $9$. Los cubos tienen raíz digital $1$,$8$ o $9$. Por lo tanto RHS no tienen la misma digital raíces de la PREPA, así que no puede ser igual.