Intercambio de cuantificadores

Question

En su libro "Análisis de la 1", de Terence Tao escribe:

Intercambio de dos "para todos" cuantificadores es inofensivo: una declaración, tal como

"Para todos los números reales a, y para todos los números reales b, se tiene (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2"

es lógicamente equivalente a la declaración de

"Para todos los números reales b, y para todos los números reales a, se tiene (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2"

(¿por qué? La razón no tiene nada que ver con el hecho de que la identidad (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 es realmente cierto o no).

Respecto a este tipo de ejercicios me resulta difícil explicar por qué esto es cierto. ¿Cuál sería una solución correcta para este ejercicio? Para mí está claro, pero no sé cómo demostrarlo. ¿No es obvio?

Answer 1

Usted dice que es obvio, y creo que es lo correcto; por supuesto, el problema es cómo demostrar que, como usted dice.

Creo que para este propósito es mejor pensar en términos de contraejemplos.

Tomar la frase "$\forall x\forall y(x+y$ incluso$)$". Claramente esto es falso (en números enteros), porque hay un contraejemplo: por ejemplo, "$x=3$, $y=1$."

Ahora, considere el "intercambia" versión "$\forall y\forall x(x+y$ incluso$)$". A continuación, $y=1, x=3$ es un contraejemplo de nuevo - de hecho, es realmente el mismo contraejemplo!

Mi punto es que cualquier contraejemplo a $\forall x\forall y P(x, y)$ también es un contraejemplo a $\forall y\forall x P(x, y)$. Tal vez por la amabilidad que reorganizar la forma de escribir de él - por ejemplo, me puede decir el valor de la primera variable de la primera, y la segunda variable de segundo pero aún así es realmente el mismo contraejemplo.

Entonces, ¿qué? Así, un universal enunciado es verdadero si no tiene contraejemplos! Diciendo así

"$\forall x\forall y P(x, y)$" y "$\forall y\forall x P(x, y)$" tienen el mismo contraejemplos

es lo mismo que decir

"$\forall x\forall y P(x, y)$" y "$\forall y\forall x P(x, y)$" son ambas verdaderas (no contraejemplos) o falsas (algunos contraejemplo(s), lo que rompe cada uno).

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Así que ¿cómo ayuda esto a usted probarlo?

Bien, usted está preguntando cómo probar un hecho básico acerca de la lógica, lo que significa que tenemos que cavar en el desordenado detalles de exactamente cómo nos axiomatize lógica en el primer lugar. Hay muchas formas equivalentes de hacer esto, por lo que es imposible dar una respuesta precisa, sin especificar primero un sistema, pero en la mayoría de estos el argumento es más o menos la siguiente:

• Supongamos por contradicción que $\forall x\forall y P(x, y)$ es verdad, pero de $\forall y\forall x P(x, y)$ es falso.

• Desde $\forall y\forall x P(x, y)$ es falso, no existe un contraejemplo: $y=a, x=b$.

• Pero, a continuación, $x=b, y=a$ es un contraejemplo a $\forall x\forall y P(x, y)$, contradiciendo lo que supone anteriores.

Answer 2

La prueba es sencilla, si, como es generalmente el caso en análisis, cada cuantificador está explícitamente limitada a un cierto conjunto de la siguiente manera:

$\forall a\in X: \forall b \in Y: R(a,b)$

o, equivalentemente,...

1. $\forall a:[a\in X \implies \forall b: [b\in Y \implies R(a,b)]]$

2. Supongamos $p\in Y$.

3. Supongamos, además, que $q\in X$.

4. A partir de (1), (2) y (3), tenemos $R(q,p)$

5. A partir de (3), llegamos a la conclusión de $\forall a: [a\in X \implies R(a,p)]]$

6. A partir de (2), llegamos a la conclusión de $\forall b:[b\in Y \implies \forall a: [a\in X \implies R(a,b)]]$

o, equivalentemente,...

$\forall b\in Y: \forall a \in X: R(a,b)$ como se requiere.

Answer 3

La negación lógica de $\forall x\in R\; \forall y\in S\; (x^2\geq -|y|)$ $\exists x\in R\; \exists y\in S\;(x^2<-|y|),$ que se puede leer como : Hay un $x \in R$ Y hay un $y\in S,$ tal que $x^2<-|y|.$ Ahora es, lógicamente, diferente de : "Hay un $y\in S$ y hay un $x\in R$ ...(etc.)" ?