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La relación y la diferencia entre Fourier, Laplace y las transformaciones Z

Me he confundido un poco con estos temas. Todos han empezado a parecerme iguales. Parecen tener las mismas propiedades como la linealidad, el desplazamiento y la escala asociadas a ellos. No puedo ponerlos por separado e identificar el propósito de cada transformación. Además, ¿cuál de ellas se utiliza para el análisis de frecuencias?

No pude encontrar (con Google) una respuesta completa que aborde este tema específico. Deseo verlos comparados en la misma página para poder tener algo de claridad.

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Kevin Albrecht Puntos 2527

Las transformadas de Laplace y Fourier son continuo Transformadas (integrales) de funciones continuas.

La transformada de Laplace mapea una función \$f(t)\$ a una función \$F(s)\$ de la variable compleja s , donde \$s = \sigma + j\omega\$ .

Dado que la derivada \$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt} \$ mapas a \$sF(s)\$ La transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal es una ecuación algebraica. Así, la transformada de Laplace es útil, entre otras cosas, para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

Si fijamos la parte real de la variable compleja s a cero, \$ \sigma = 0\$ el resultado es la transformada de Fourier \$F(j\omega)\$ que es esencialmente el representación en el dominio de la frecuencia de \$f(t)\$ (nótese que esto es cierto sólo si para ese valor de \$ \sigma\$ la fórmula para obtener la transformada de Laplace de \$f(t)\$ existe, es decir, no va al infinito).

La transformada Z es esencialmente una versión discreta de la transformada de Laplace y, por tanto, puede ser útil para resolver diferencia la versión discreta de diferencial ecuaciones. La transformada Z mapea una secuencia \$f[n]\$ a una función continua \$F(z)\$ de la variable compleja \$z = re^{j\Omega}\$ .

Si fijamos la magnitud de z a la unidad, \$r = 1\$ el resultado es la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) \$ F(j\Omega)\$ que es esencialmente la representación en el dominio de la frecuencia de \$f[n]\$ .

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La s en la Transformada de Laplace es un número complejo, digamos a+j \$\omega\$ Así que es una transformación más general que la Fourier completamente imaginaria. De hecho, siempre que se esté en la región de convergencia, se puede pasar de una a otra simplemente sustituyendo j \$\omega\$ con s y viceversa

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Me parece útil pensar en la transformada de Fourier como algo que se aplica a periódico señales, y la transformada de Laplace como algo que se aplica a variable en el tiempo señales. (Esto es una consecuencia de lo que explicó @ScottSeidman más arriba).

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@Alfred: En realidad no has abordado which one of these is used for frequency analysis - Para completar la información, probablemente valga la pena mencionar que la mayoría de la gente utiliza la FFT para el análisis de frecuencias, y cómo la FFT encaja con las cosas ya enumeradas.

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Jason Puntos 51

Las transformadas de Laplace pueden considerarse un superconjunto de CTFT (transformadas de Fourier en tiempo continuo). Verás, en una ROC (Región de Convergencia) si las raíces de la función de transferencia se encuentran en el eje imaginario, es decir, para s=+j, = 0, como se ha mencionado en comentarios anteriores, el problema de las transformadas de Laplace se reduce a la Transformada de Fourier en Tiempo Continuo. Para rebobinar un poco, sería bueno saber por qué evolucionaron las transformadas de Laplace en primer lugar cuando teníamos las transformadas de Fourier. Verás, la convergencia de la función (señal) es una condición obligatoria para que exista una Transformada de Fourier (absolutamente sumable), pero también hay señales en el mundo físico en las que no es posible tener tales señales convergentes. Pero, como es necesario analizarlas, las hacemos converger, multiplicando una exponencial monótonamente decreciente e^ a la misma, que las hace converger por su propia naturaleza. A este nuevo +j se le da un nuevo nombre "s", que a menudo sustituimos por "j" para la respuesta de las señales sinusoidales de los sistemas causales LTI (Linear Time-Invariant). En el plano s, si la ROC de una transformada de Laplace cubre el eje imaginario, su transformada de Fourier siempre existirá, ya que la señal convergerá. Son estas señales en el eje imaginario las que comprenden las señales periódicas e^j = cos t + j sin t (Por Euler).

De la misma manera, la transformada z es una extensión de la DTFT (Transformada de Fourier en Tiempo Discreto) para, primero, hacerla converger, y segundo, hacernos la vida mucho más fácil. Es más fácil tratar con una z que con una e^j (poniendo r, radio del círculo ROC como untiy).

Además, es más probable que utilice una transformada de Fourier que una de Laplace para señales que no son causales, porque las transformadas de Laplace facilitan mucho la vida cuando se utilizan como transformadas unilaterales (de un solo lado). También puedes utilizarlas en ambos lados, el resultado será el mismo con alguna variación matemática.

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Tu respuesta es salvadora .... pulgares arriba por tan precisa y gran explicación .

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JonRB Puntos 4599

Las transformadas de Fourier sirven para convertir/representar una función variable en el tiempo en el dominio de la frecuencia.

Una transformada de Laplace son para convertir/representar una función variable en el tiempo en el "dominio integral"

Las transformaciones Z son muy similares a las de Laplace, pero son conversiones discretas en intervalos de tiempo, más cercanas a las implementaciones digitales.

Todos parecen iguales porque los métodos utilizados para la conversión son muy similares.

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jfasoulas Puntos 61

Intentaré explicar la diferencia entre la transformación de Laplace y la de Fourier con un ejemplo basado en circuitos eléctricos. Así, supongamos que tenemos un sistema que se describe con una ecuación diferencial conocida, digamos por ejemplo que tenemos un circuito RLC común. Supongamos también que se utiliza un interruptor común para encender o apagar el circuito. Ahora bien, si queremos estudiar el circuito en el estado estacionario sinusoidal tenemos que utilizar la transformada de Fourier. De lo contrario, si nuestro análisis incluye el encendido o apagado del circuito tenemos que implementar la transformación de Laplace para las ecuaciones diferenciales.

En otras palabras, la transformación de Laplace se utiliza para estudiar la evolución transitoria de la respuesta del sistema desde el estado inicial hasta el estado estacionario sinusoidal final. Incluye no sólo el fenómeno transitorio desde el estado inicial del sistema, sino también el estado estacionario sinusoidal final.

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richard1941 Puntos 101

Diferentes herramientas para diferentes trabajos. A finales del siglo XVI, los astrónomos empezaron a hacer cálculos complicados. Los logaritmos se calcularon por primera vez para transformar la multiplicación y la división en sumas y restas más fáciles. Del mismo modo, las transformaciones de Laplace y Z convierten las desagradables ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que tienen una oportunidad de resolverse. Las series de Fourier se inventaron originalmente para resolver el flujo de calor en ladrillos y otras ecuaciones diferenciales parciales. Su aplicación a las cuerdas vibrantes, a los tubos de un órgano y al análisis de series temporales fue posterior.

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