Estoy tratando de mostrar que existen infinitos valores de $p$ tal que $x^2 + 2x + 2$ no tiene raíces más $\mathbb{F}_p$. Es fácilmente solucionable? (Como que me ocurrió a mí mismo, así que no sé.)
Gracias!
Respuestas
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Es sencillo si sabes algo de teoría. Supongo que por $\mathbb{F}_p$ que la media de los enteros modulo $p$.
La ecuación tiene una solución en $\mathbb{F}_p$ fib $$(x+1)^2\equiv -1\pmod{p}$$ tiene una solución.
Para impares primos $p$, de la congruencia $$y^2 \equiv -1\pmod{p}$$ tiene una solución iff $p\equiv 1\pmod{4}$.
Así que para los números primos de la forma $4k+3$, no hay solución.
Un argumento mucho como la habitual "Euclides" la prueba muestra que existen infinitos números primos de la forma $4k+3$. De hecho, en un sentido preciso, la mitad de los números primos son de este tipo. Así que hay una infinidad de números primos para que la ecuación no tiene solución.
La prueba de la caracterización de los números primos para que $y^2\equiv -1 \pmod{p}$ se puede encontrar en cualquier comienzo libro sobre la Teoría de números.
David HAust
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SUGERENCIA $\ $ Fórmula Cuadrática $\rm\:\Rightarrow\ x = -1 \pm\sqrt{-1}\ $ pero $\rm\:\sqrt{-1}\not\in\mathbb F_p\:$ para los números primos $\rm\:p = 4\:k+3 \:$ más
$\qquad\qquad\ \rm a^2 = -1\ \Rightarrow\ a^{p-1}\ =\ (a^2)^{2\:k+1}\ \equiv\ {-}1\pmod{p}\ \ $ contra de Fermat Poco Teorema.
NOTA $\ $ Para más información sobre el subyacente de la teoría de grupo , vea aquí.
Geoff Robinson
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Me daría un poco diferente grupo de perspectiva de la teoría. Si $F$ es el campo de $p$ elementos y $p$ es un extraño primo, entonces el grupo multiplicativo de cero elementos de $F$ orden $p-1.$ Si hay un elemento $a \in F$ tal que $a^2 = -1,$ $a^4 =1$ y el grupo cíclico $\langle a \rangle$ orden $4.$ del teorema de Lagrange, $4$ divide $p-1,$ $p$ tiene la forma $4k+1$ para algunos entero $k.$
