mayor o igual que

Question

Dado $$(a_1,a_2,...,a_n)\in\mathbb{R}$$ ¿esta desigualdad? $$S=\sum_{i,j=1}^n\frac{a_ia_j}{i+j}\ge0$$ Gracias.

Answer 1

Respuesta : SÍ. Esto es debido a que

$$ \sum_{i,j=1}^n\frac{a_ia_j}{i+j}= \sum_{i,j=1}^n\int_0^1a_ia_jt^{i+j-1}dt= \int_0^1 \Bigg(\sum_{i=1}^n a_it^{- i\frac{1}{2}}\Bigg)^2 dt $$

Answer 2

Deje $S(x)=\sum_{i,j} a_i a_j x^{i+j}/(i+j)$. A continuación,$S'(x) =\sum_{i,j} a_i a_j x^{i+j-1}$. Podemos escribir $S'(x)=x(\sum_i a_i x^{i-1})^2$ que es no negativa para no negativo $x$. Por lo tanto, $S(x)$ está aumentando a lo largo de los números reales no negativos. En particular, $0=S(0)\le S(1)=S$.