Cada vector distinto de cero en $\mathbb{R}^n$ pueden ser adaptadas para ser arbitrariamente cerca de $\mathbb{Z}^n-\{0\}$.

Question

Problema. Demostrar que para todo distinto de cero $v\in\mathbb{R}^n$ y todos los $\epsilon>0$ existe $r>0$ tal que $\operatorname{dist}(rv,\mathbb{Z}^n- \{0\})<\epsilon.$

En otras palabras, debemos demostrar que para todos los $\epsilon>0$ existe $w\in\mathbb{Z}^n-\{0\}\subseteq\mathbb{R}^n$ tal que $|v-w|<\epsilon$.

Pregunta extra. Podemos tomar $w$ ser arbitrariamente grande?

Los intentos. El caso de $n=1$ es trivial: se puede tomar $r=1/v$, de modo que $rv=1$. Pero ese enfoque, obviamente, no generalizar a $n>1$. Alguna idea?

Más generalmente, si $v$ es racional, es decir $v_i=a_i/b_i$, entonces podemos tomar $r=b_1\cdots b_n$, de modo que $rv\in\mathbb{Z}^n-\{0\}$.

Answer 1

Lo que ustedes se refieren como el "dist () la función es más comúnmente conocido como el vector de norma, una función que toma un vector y se produce la "longitud" de un vector. Al escalar de un vector por una constante, la norma del vector escalas por el constante (al menos para los habituales de la norma en este caso). De ello se desprende que el argumento dado para n=1 se puede utilizar en casi literalmente, todo lo que necesitas hacer es traducir de escalar del vector para la ampliación de la norma.