El uso de diferenciación implícita para encontrar la recta tangente a $3xy=y^2$

Question

El uso de diferenciación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $3xy = y^2$ $(1,3)$

Esto es lo que he probado hasta ahora: $$\begin{align*} 3\frac{d}{dx}(x)\frac{d}{dx}(y(x)) &= \frac{d}{dx}(y(x)^2)\\ 3(1)\left(\frac{dy}{dx}\right) &= 2\frac{dy}{dx}\\ 3 &= \frac{dy}{dx} \end{align*}$$

A continuación, el uso de que para resolver la ecuación, me sale: $$\begin{align*} y-3 &= 3(x-1)\\ y &= 3x \end{align*}$$

¿Puedo resolver este correctamente?

EDITAR:

Ok, así que me gustaría realmente tener: $$\begin{align*} 3\left (\frac{dx}{dx}y+\frac{dy}{dx}(x)\right) &= 2y\frac{dy}{dx}\\ 3\left(y+x\left(\frac{dy}{dx}\right)\right) &= 2y\frac{dy}{dx}\\ 3\left(3+1\frac{dy}{dx}\right) &= 2(3)\frac{dy}{dx}\\ 9+3\frac{dy}{dx} &= 6\frac{dy}{dx}\\ 3 &= \frac{dy}{dx} \end{align*}$$ A continuación, el uso de que para resolver la ecuación, me sale: $$\begin{align*} y-3 &= 3(x-1)\\ y &= 3x \end{align*}$$

Answer 1

Se calculan tanto los derivados de forma incorrecta.

Para $\frac{d}{dx}(xy)$, es necesario utilizar la regla del producto. Usted obtener $$\frac{d}{dx}(xy) = \left(\frac{dx}{dx}\right)y + x \left(\frac{dy}{dx}\right).$$

Y para $\frac{d}{dx}y^2$, es necesario utilizar la Regla de la Cadena. Usted obtener $$\frac{d}{dx}y^2 = 2y\left(\frac{dy}{dx}\right).$$

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Una vez que haya computado el derivado implícito, puede proceder como lo hizo antes: enchufe $x=1$$y=3$, y resolver para $\frac{dy}{dx}$. Que da la pendiente de la tangente en a $(1,3)$. A continuación, utilice la fórmula punto-pendiente para obtener la ecuación de la tangente.

Por el camino. Yo siempre digo a mis estudiantes para comprobar explícitamente si el punto dado es en realidad en la curva antes de comenzar a hacer los cálculos. Es posible que desee hacer que (en este caso, lo es).