He estado tratando de encontrar esta prueba:
Si no existe $f \colon A\to B$ inyectiva y $g \colon A \to B$ surjective, probar que existe $h \colon A \to B$ bijective.
Pensé en el uso de cardinalidad, pero creo que es posible demostrar que sin el uso de la misma. Alguien sabe cómo?
Esto no es cierto en general en $ZF$ (cf. este MathOverflow pregunta).
Suponiendo que el axioma de elección, esto se vuelve relativamente simple.
Desde $g$ es surjective, para cada $b\in B$ el conjunto $g^{-1}(b)$ es no vacío. Si es así podemos elegir $a_b$ a ser tal que $g(a_b) = b$ por cada $b\in B$ (esto puede ser un subconjunto de a $A$). La función de $b\mapsto a_b$ es una función inyectiva de a $B$ a $A$.
Por el Cantor-Bernstein teorema (que no requiere el axioma de elección) tenemos que existe un bijection $h$ según sea necesario.
Anexo: Prueba de Cantor-Bernstein teorema usando el axioma de elección
Supongamos $A$ $B$ son conjuntos y existe $f\colon A\to B$ inyectiva, y $g\colon B\to A$ inyectiva. Entonces existe $h\colon A\to B$ bijective.
Prueba: Por el axioma de elección que podemos bien el fin de $A$ $B$ como mínimo de la clase de orden es posible. Así que sin pérdida de generalidad podemos suponer $A=\alpha$ $B=\beta$ para los dos ordinales.
Desde dos órdenes son comparables en la incrustación de relación (es decir, $\alpha$ puede ser embebido en un segmento inicial de $\beta$, o viceversa) y, en particular, $\alpha\subseteq\beta$ o $\beta\subseteq\alpha$, si es así que $f\colon\alpha\to\beta$ $g\colon\beta\to\alpha$ son dos funciones inyectiva.
Recordemos que $\beta$ fue el menos ordinal bijectible con $B$, por lo que si $\alpha<\beta$ no hay inyección de $\beta$ a $\alpha$. Por lo tanto, $g$ testigos $\beta\le\alpha$.
El mismo argumento vale para $\alpha$ $A$ $f$ testigos $\alpha\le\beta$. Desde los ordinales son linealmente ordenado, anti-simetría implica $\alpha=\beta$.
La función de $h$ es la composición de la bien ordenar las funciones de $A$$B$, que es el si $w_1\colon A\to\alpha$ es el bijection de $A$$\alpha$, e $w_2\colon B\to\beta$ el bijection hemos utilizado a bien ordenar el conjunto de $B$, definir $h=w_2^{-1}\circ w_1\colon A\to B$ que es un bijection.
No estoy seguro de que este es el original de Cantor prueba, pero funciona, y no creo que la prueba de Cantor utilizado era demasiado diferente, tal vez el uso de los números ordinales fue ligeramente diferente (de nuevo, a continuación, que sólo utiliza el hecho de que los pedidos se ofrece la posibilidad de integrar en uno al otro muy bien).
Tan pronto como se sabe que la existencia de surjective mapa de $A\to B$ es equivalente implica la existencia de inyectiva mapa de $B\to A$, este es el Cantor-Bernstein teorema.
La anterior afirmación se sigue de la siguiente forma equivalente del Axioma de Elección:
(S) Para cada surjective mapa de $g: A\to B$ existe un mapa de $h: B\to A$ tal que $(\forall b\in B) h(g(b))=b$. http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_Choice#Equivalents
La prueba de CA $\Rightarrow$ (S) fue en Asaf del post. Un mapa de $h$ el cumplimiento de la anterior propiedad es inyectiva.
Algunas pruebas de Cantor-Bernstein se puede encontrar aquí: http://www.proofwiki.org/wiki/Cantor-Bernstein-Schroeder_Theorem
Me gusta la prueba que utiliza Knaster-teorema de Tarski. (De hecho, la prueba 3 en el enlace de arriba es la misma cosa como muestra de Knaster-Tarski en este caso especial.)
Brown, Pearcy: Una introducción al análisis, Teorema 4.1
EDIT: GEdgar señaló un error en mi formulación original. Deja que me ocupe de esto en breve. (Espero que lo recuerdo correctamente). Las siguientes dos afirmaciones trabajo para cualquier conjuntos $A$, $B$:
Bajo el supuesto de $B\ne\emptyset$ tenemos
La última afirmación no es cierta para$B=\emptyset$$A\ne\emptyset$, ya que el vacío de la función de $\emptyset$ fo $A$ es inyectiva, pero no hay ninguna función de un conjunto no vacío a $\emptyset$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
