Irracionalidad de los puntos en $x^2 + y^2 = 3$

Question

En la página 79 de su libro "Los Irracionales", Julian Harvil se propone demostrar que todos los puntos en el plano cartesiano del círculo descrito por $x^2 + y^2 = 3$ son irracionales... (paráfrasis a continuación)

1. Supongamos que un punto racional ($\frac{p}{q},\frac{r}{s}$) yace en el círculo.

2. Por lo tanto $p^2s^2 + q^2r^2 = 3q^2s^2$

3. Lo que podemos reformular como $a^2 + b^2 = 3c^2$ donde $a, b, c$ son todos enteros positivos.

Sigo este punto, pero entonces él estipula "dado que la suma de dos números pares y la suma de dos números impares son pares, debe ser que uno de $a^2$ y $b^2$ es par y el otro impar".

¿Por qué es necesario que la suma de $a^2 + b^2$ sea impar?

Actualización Mi error - él estipula que $a^2$ y $b^2$ no pueden ser ambos pares así como no pueden ser ambos impares - ahora lo he citado correctamente

Answer 1

Si $a$ y $b$ son impares, entonces dado que $a=ps$ y $b=qr$, debe ser que todos $p, s, q$ y $r$ son impares. Por lo tanto, $c=qs$ también sería impar.

Answer 2

Tenga en cuenta que si $a, b$ son ambos impares, entonces $a^2+b^2\equiv2\bmod 4$, pero dado que $3c^2\equiv 0\bmod 4$ si c es par y $3c^2\equiv 3\bmod 4$ si c es impar, esto no puede ocurrir.

Y si $a, b$ son ambos pares, entonces $a, b, c$ no pueden ser coprimos, lo cual es (generalmente) el punto de partida de la técnica de Fermat del descenso (y también de algunos otros métodos).

De hecho, no necesitamos esa propiedad para demostrar que no hay soluciones enteras de $a^2+b^2=3c^2$. Primero, asumamos que existe tal $(a, b, c)$ y asumamos además que son coprimos. Dado que $a^2+b^2\equiv0\bmod3$, debemos tener $a, b\equiv0\bmod3$, lo que a su vez implica que $c\equiv0\bmod3$. Y eso es una contradicción ya que $(a, b, c)$ son coprimos.

Answer 3

Hay tres casos a considerar para la forma $a^2+b^2=3c^2$

Si $a$ y $b$ son ambos pares, entonces $c$ debe ser par, y podemos dividir toda la ecuación por $4$. Nota que esto no está restringido de la manera en que se plantea la pregunta, pero busquemos una solución mínima. Una solución mínima no puede tener tanto a como b pares.

Si $a$ y $b$ son ambos impares, consideramos la ecuación módulo 4. El lado izquierdo es equivalente a $2$. El lado derecho es equivalente a $3$ ($c$ impar) o $0$ ($c$ par). Ningún caso de igualdad es posible.

Queda el caso de uno impar y uno par.

Nota que los cuadrados impares son equivalentes a $1$ módulo $8$ - y trabajar módulo $4$ o $8$ a menudo brinda una rápida comprobación de viabilidad en ecuaciones que involucran cuadrados enteros.