Límite de funciones monótonas en el infinito

Question

Entiendo que si una función es monótona, a continuación, el límite en el infinito es $\infty$,un número finito o $-\infty$. Si sé que la derivada es mayor que $0$ por cada $x$ $[0, \infty)$ entonces sé que $f$ es monótonamente creciente, pero no sé si el límite es finito o infinito.

Si $f'(x) \geq c$$c \gt 0$, entonces sé que el límite en el infinito es infinito y no finito, pero ¿por qué? ¿Cómo puedo decir que si el límite de la derivada en el infinito es mayor que cero, entonces el límite es el infinito?

Answer 1

También puede probar directamente por el Valor medio Teorema:

$$f(x)-f(0)=f'(\alpha)(x-0) \geq cx \,.$$

Por lo tanto $f(x) \geq cx + f(0)$.

Answer 2

En cada intervalo de $[n,n+1)$ la función se incrementa en al menos $c$.

Answer 3

Además de Ross en la respuesta, tenga en cuenta que si la derivada es siempre positiva, puede ser positivo y, sin embargo, convergente a cero. Por ejemplo, considere el $\dfrac{-1}{1+x^2}$ sobre el eje x positivo. La derivada es siempre positiva, y, sin embargo, el límite es finito.

Answer 4

Para algunos $C>0$,

$$f(x) = \int_0^x f^\prime (t)\,dt \geq \int_0^x C \, dt = C\cdot x \longrightarrow \infty \;(x\rightarrow \infty)$$