Cómo probar esto a ser un número Irracional?

Question

$$ \int^1_0 e^{-x^2} \, \mathrm{d} x $$

Parece que necesita más de 30 palabra para hacer un significado de este problema,pero en realidad que todos los incluidos en el título. Gracias por tu respuesta.

Answer 1

EDIT: la prueba no es correcta, los factores de $(2b-1), (2b-3),\cdots$ a estropear. Voy a intentar arreglarlo. $$ I=\int_0^1e^{-x^2}\,dx= \int_0^1\sum_{n=0}^\infty{(-x^2)^n\sobre n!}\,dx= \int_0^1\sum_{n=0}^\infty{(-1)^nx^{2n}\over n!}\,dx = \\ = \sum_{n=0}^\infty\int_0^1{(-1)^nx^{2n}\over n!}\,dx= \sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\(2n+1)n!}. $$ Si $I={a\over b}\in\Bbb Q$, considere la posibilidad de $$ X=(2b+1)b!\a la izquierda(I-\sum_{n=0}^b{(-1)^n\(2n+1)n!}\right)= \\ = (2b+1)(b-1)!-\sum_{n=0}^b{(-1)^n(2b+1)b!\(2n+1)n!}= \sum_{n=b+1}^\infty{(-1)^n(2b+1)b!\(2n+1)n!}, $$ y el $|\ |$ de la última serie se $<1$ (alterna).