Resolver $f'(x) +f(x)=cf(x-1)$

Question

Para demostrar que $f(x) =Ae^{nx}$ para constante $n$ y $A$ empezando con esto:

$$f'(x) +f(x)=cf(x-1)$$

Dónde $c$ es constante y $c\not= 0$ .

Si no fuera por el $f(x-1)$ bit, me limitaría a utilizar el factor de integración donde $I=e^x$ e introdúcelo en la ecuación. Pero la $f(x)$ me despista, así que tendría que ponerlo de una forma como $\frac{dy}{dx}+y=?$ para sentirme bien.

EDIT: Oh como alguien señaló con razón esto es sólo para la condición cuando $n$ satistfies $$n+1 = ce^{-n}$$

Answer 1

No es cierto que cualquier solución de la ecuación dada tenga la forma $Ae^{nx}$ . Sin embargo, sí que tiene soluciones de esa forma, y se pueden encontrar simplemente conectando $f(x)=Ae^{nx}$ en la ecuación y resolviendo para $n$ ( $A$ se retira inmediatamente, suponiendo que $A\ne0$ ).

La solución general permite $f(x)$ sea una función arbitraria (bueno, no demasiado patológica) en algún intervalo de longitud 1, digamos, para $x\in[0,1]$ . A partir de ahí puede obtener la solución en $[1,2]$ considerando el lado derecho una función conocida (ya que $x\in[1,2]$ implica $x-1\in[0,1]$ Así que $f(x-1)$ es conocida), y utilizando el método de integración de factores. A continuación, se obtiene la solución en $[2,3]$ etc.

Answer 2

Vamos a resolverlo utilizando el "método de los pasos".

Supongamos que para $x\in (-1,0)$ (el "paso" inicial) elegimos $$\tag{0} f(x)=\theta(x)=1+x$$ (esta función inicial es un poco arbitraria y no necesita verificar el E.D. retardado)
entonces tendremos para $x\in (0,1)$ y puesto que $f(x-1)\in(-1,0)$ :

$$f'(x)+f(x)=c\theta(x-1)=c(1+x-1)=cx$$ La solución de esto es : $$f(x)=c(x-1)+C_0 e^{-x}$$ Ya que teníamos $f(0)=1$ desde el paso inicial y para suponer continuidad supondremos que $f(0)=1=-c+C_0$ o $C_0=1+c$

$$\tag{1} f(x)=c(x-1)+(1+c)e^{-x}$$

Puede continuar con este sistema paso a paso. En el siguiente intervalo $(1,2)$ el $f(x-1)$ a la derecha estará el $f$ del paso anterior $(1)$ y así sucesivamente... Se podría buscar una fórmula más general, pero no siempre es posible.

Answer 3

Si conecta $f(x) = A e^{kx}$ usted encuentra que esto satisface su ecuación siempre que $k+1 = c e^{-k}$ .

Así, para cada (real o complejo) $k$ satisfactoria: $$k+1 = c e^{-k}$$ Se tiene una solución de la forma $A e^{kx}$

Por linealidad, las combinaciones lineales arbitrarias de soluciones son soluciones. Aunque sólo se busquen soluciones reales, hay que tener en cuenta el complejo $k$ porque si $$k = a + i b$$ satisface:

$$k+1 = c e^{-k}$$

De ello se deduce que $\cos(bx) e^{ax}$ y $\sin(bx) e^{ax}$ son soluciones.

Puesto que (para $c \ne 0$ ) $k + 1 = c e^{-k}$ tiene infinitas soluciones complejas, esto da una familia infinita-dimensional de soluciones de su ecuación.