Estoy haciendo mis comentarios en una respuesta. Como se dijo en un comentario, no es el teorema:
Si $\Omega \subset \mathbb{R^{2}}$ es un abierto y en forma de estrella de dominio, a continuación, una $C^1$-campo de vectores $K: \Omega \to \mathbb{R}^2$ es conservativo si y sólo si $\operatorname{rot} K = 0$.
Pero como $\Omega = \mathbb{R}^2 \smallsetminus \{0\}$ es no en forma de estrella con respecto a cualquier punto de [a prueba: si $x$ es cualquier punto de $\Omega$ la conexión de la línea $x$ $-x$ cruza el origen, con lo $\Omega$ no es en forma de estrella], este es el teorema no es aplicable y de su conclusión, se puede llegar a ser falso, como veremos en un momento.
Ahora vamos a ver en el campo de vectores $F(x,y) = \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right)$. Si $(x_{0},y_{0})$ se encuentra en el círculo unitario, es decir, $x_{0}^2 + y_{0}^2 = 1$,$F(x_{0},y_{0}) = (-y_{0},x_{0})$. Tenga en cuenta que $F(x_{0},y_{0})$ tiene una longitud de uno y es perpendicular al vector de $(x_{0},y_{0})$ y apunta en la dirección hacia la izquierda (visto desde el origen). Tan geométricamente, si nos movemos en torno al origen de las agujas del reloj, la integral de línea debe evaluar negativamente (ya que el campo de vectores de puntos en la frente de la dirección de nuestro movimiento). Formalmente, si que parametrizar el círculo unitario por $\gamma(t) = (\cos{t}, -\sin{t})$ $t \in [0,2\pi]$ (signos son elegidos de modo que caminamos hacia la derecha) la integral de línea de $F$ a lo largo de $\gamma$ evalúa a
\begin{align*}
\int_{\gamma} F\cdot ds & = \int_{0}^{2\pi} F(\gamma(t)) \cdot \dot{\gamma}(t)\,dt = \int_{0}^{2\pi} \begin{pmatrix} \sin{t} \\ - \cos{t} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\sin{t} \\ \cos{t} \end{pmatrix}\,dt \\ & = \int_{0}^{2\pi} \left(-\sin^2{t} - \cos^{2}\right)\,dt = -2\pi
\end{align*}
desde $\sin^2 + \cos^2 = 1$.
Este cálculo se resuelve la pregunta casi por completo: se ha encontrado un camino tal que la integral se evalúa negativamente y por lo tanto el primer punto es correcto. El tercer punto es errónea ya que nuestro camino está cerrado y un gradiente de campo vectorial es conservativo, por lo tanto se evalúa a cero en todos los trazados cerrados.
Por último, tenga en cuenta que para cada $\varepsilon \in (0,1)$ el balón $B_{\varepsilon}(0,1)$ está totalmente contenida en $\Omega$, y es en forma de estrella (con respecto a $(0,1)$). Por lo que el teorema es aplicable a la restricción $K$$F$$B_{\varepsilon}(0,1)$. Llegamos a la conclusión de que el campo de vectores $K$ es conservador en $B_{\varepsilon}(0,1)$ y, por tanto, para cada cerrado $C^1$ruta $\gamma$ contenido totalmente en $B_{\varepsilon}(0,1)$ integral $\int_{\gamma} F \cdot ds = 0$. Así que la segunda bala que punto es correcto.
Para resumir:
