los ceros de la exponencial de polinomios

Question

Deje $\exp[n;z]$ el valor del $n$th el polinomio de Taylor de la función exponencial.

En la década de 1920 Szegő inició el estudio de las propiedades asintóticas de los ceros (reescalado dividiendo por $n$) de esta familia de polinomios y una de las consecuencias de sus resultados es que pueden acercarse arbitrariamente cerca el imaginario eje. Esto impulsa a la siguiente pregunta:

Es posible que $\exp[n;z]$ que tiene una raíz que se encuentra precisamente en el eje imaginario?

Answer 1

Esto es equivalente a preguntar si hay simultánea de un cero real de los dos polinomios $\cos[n,z]$$\sin[n,z]$. Pero para cualquier $n$, uno de estos dos polinomios es la derivada de la otra, por lo que sólo son simultáneamente cero en la repetición de una raíz del alto grado uno.

Así que la pregunta es equivalente a preguntar si el polinomio de Taylor centrado en 0 de $\sin$ o $\cos$ alguna vez en la repetición de una raíz real.

Edit: al Parecer, este blog ha sido después de nuestra conversación y de los estados que sus raíces repetidas.