Si $X$ es completa, entonces no es continua y abierta $\,f:X \to \mathbb{Q}$

Question

Me he encontrado con la siguiente pregunta y se quedó atascado :

No es continuo y abierto de asignación $\,f:X \to \mathbb{Q},$ donde $X$ es un espacio métrico completo.

Pensé que tenía algo que ver con la de categoría de Baire teorema, debido a que esta es la única manera que podía ver tanto la integridad de $X$ y la apertura de $f$ tomar parte en la prueba, pero no he podido probarlo.

Answer 1

De hecho, esta es una aplicación de Baire Teorema.

Deje $q\in\mathbb Q$. Vamos a mostrar primero que $V=f^{-1}(\mathbb Q\smallsetminus\{q\} )$ es abierto y denso en $X$. Es claramente abierta, como $f$ es continua. Si $V$ no eran densos, entonces no sería un abrir balón $B(x,\varepsilon)$ $X$ ( $x\in X$ $\varepsilon>0$ ), de tal manera que $$ V\cap B(x,\varepsilon)=\varnothing. $$ Pero, como $f$ está abierta, $f\big(B(x,\varepsilon)\big)$ está abierto, y por lo tanto $$ f\big(B(x,\varepsilon)\big)\cap\big(\mathbb Q\smallsetminus\{q\}\big)\ne\varnothing. $$ Una contradicción, y por lo tanto $V$ es densa.

Ahora, vamos a $\{q_n\}$ una enumeración de $\mathbb Q$$W_n=\mathbb Q\smallsetminus\{q_n\}$. A continuación,$\bigcap_{n\in\mathbb N}W_n=\varnothing$, y por lo tanto $$ \varnothing=f^{-1}\left(\bigcap_{n\in\mathbb N}W_n\right)=\bigcap_{n\in\mathbb N}f^{-1}(W_n). $$ Una contradicción, debido a Baire teorema, como cada una de las $V_n=f^{-1}(W_n)$ es abierto y denso.