Problema de Dirichlet con frontera suave a trozos

Question

Supongamos un dominio $ \Omega \subset \mathbb{R^2} $ con $ \partial \Omega $ . Para $ f \in C^{\infty}(\mathbb{R^2}) $ El problema de Dirichlet consiste en encontrar $ u $ con $ \Delta u = 0 $ en $ \Omega $ y $ f = u $ en $ \partial \Omega $ . ¿Cuáles son los teoremas de existencia y regularidad para las soluciones clásicas $ u $ en el caso de que $ \partial \Omega $ no es suave, sino que sólo es suave a trozos?

No sé exactamente dónde buscar estos resultados más allá de conocer las referencias estándar, y estoy un poco abrumado por esto. Agradecería que alguien me indicara una dirección mejor.

Answer 1

Pues bien, si se toma el método de Perron, siempre se tiene la existencia (tómese, por ejemplo, la suma puntual de todas las funciones subarmónicas que se encuentran por debajo de $f$ en $\partial \Omega$ ), y para las funciones armónicas siempre se tiene regularidad interior (véase, por ejemplo, las estimaciones interiores de Schauder en Gilbarg-Trudinger, capítulo 4 o capítulo 6).

Cuando la frontera ya no es suave, lo que puede tener son problemas de convergencia: ¿converge su solución al valor de la frontera? Si es así, ¿con qué rapidez? Esto se resuelve en función de si existe una barrera en torno a ese punto límite (Gilbarg-Trudinger también tiene una discusión sobre lo que significa esto de forma más precisa en el capítulo 2, sección 8 - "El método de las funciones subarmónicas"), que se relaciona con la geometría de ese punto límite - esto se cuantifica con el criterio de Wiener.

(Actualización): El siguiente documento puede ser útil: http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF00281357.pdf