Ahora esta pregunta es dependiente de la base, voy a suponer en base 10, pero siéntase libre de generalizar.
Me había dado cuenta de que para los pequeños números primos que no son factores de la base ($2$$5$ terminar) el recíproco de la prime (leer $\frac 1p$) fue la repetición de una decimal.
Será el recíproco de cualquier primer aparte de los dos mencionados de forma repetitiva decimal?
¿Hay algo que pueda decir acerca de la orden de la repetición decimal si sabe el primer que lo generó?
De hecho, si $p$ es un primo mayor que $5$ (esto excluye a ambos primos $2$ $5$ también $3$), la expansión decimal de $1/p$ es periódica con período de longitud es igual a $e=\operatorname{ord}_p(10)$ el orden de $10$ modulo $p$, es decir, $e$ es el menor entero positivo tal que $$10^e\equiv 1 \pmod p$$ Este resultado puede ser generalizated en cualquier número de la base de $B>1$ y extendido a cualquier fracción $x/n$ donde el numerador $x\in \mathbb{U}_n$, el conjunto de los enteros positivos menores que y relativamente primos de a$n$$\gcd(B,n)=1$. Con esto, la hipótesis de la expansión decimal de $x/n$ en la base de $B$ es periódica y su período de duración es del orden de $B$ modulo $n$ (que existe debido a la relativamente privilegiada condición entre el$B$$n$). Tenga en cuenta que la duración del período de $x/n$ no dependen de $x$, por lo que cada uno de la fracción $x/n$ siempre tienen la misma duración del período.
Dado un primer $p \neq 2,5$, es siempre el caso de que $1/p$ ha repetido decimal de expansión.
Lema: Cada primer $p \neq 2, 5$ divide un repunit.
La prueba del Lema:
Revisión de un primer $p \neq 2,5$. Deje $\textbf{A}$ el conjunto de repunits, por lo que
$$\textbf{A} = \left\{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} 10^{k-1} \, \mid \, n \in \mathbb{N} \right\} = \left\{\frac{10^n -1}{9} \, \mid \, n \in \mathbb{N} \right\}$$
Considerar la repunits, modulo $p$. Desde $\mathbb{N}$ no es un conjunto finito, ni es $\textbf{A}$. Hay un número finito de restos modulo $p$ (específicamente, $p$ posibles restos).
Hay (infinitamente) más repunits de restos modulo $p$. Por lo tanto, no deben existir dos distintas repunits con el mismo residuo modulo $p$. Por lo $$ \exists \, a, b \in \textbf{A} \,\, \text{s.t.} \,\,\,\,\,\, a \equiv b \pmod{p}, \,\, a \neq b$$
Sin pérdida de generalidad, supongamos $a > b$.
Desde $a, b \in \textbf{A}$, $\exists \, x, y \in \mathbb{N}$ con $x > y$ tal que
$$a = \frac{10^x - 1}{9}$$
$$b = \frac{10^y - 1}{9}$$
Podemos sustituir en a $a \equiv b \pmod{p}$ para obtener:
$$\frac{10^x - 1}{9} \equiv \frac{10^y - 1}{9} \pmod{p}$$
$$\frac{\left(10^x - 1\right)-\left( 10^y - 1\right)}{9}\equiv 0 \pmod{p}$$
$$\frac{10^x-10^y}{9} \equiv 0 \pmod{p}$$
$$\frac{\left(10^y\right)\left(10^{x-y}-1 \right)}{9}\equiv 0 \pmod{p}$$
Sabemos que $p \nmid 10^y$, debido a $p$ no $2$ o $5$. Desde $\mathbb{Z}/p\,\mathbb{Z}$, el anillo de los enteros modulo $p$, no tiene divisores de cero (debido a que $p$ es primo),
$$\frac{10^{x-y}-1}{9}\equiv 0 \pmod{p}$$
Este es un repunit.
Desde nuestra elección de $p \neq 2, 5$ fue arbitraria, hemos demostrado que todos los primos que no es $2$ o $5$ divide un repunit. De ello se sigue que todos los primos que no es $2$ o $5$ se divide en nueve ocasiones un repunit (un entero positivo, cuyos dígitos son todos los nueves).
Esto significa que por cada $p$ que no es $2$ o $5$, existen enteros positivos $m$ $n$ tal que tal que
$$\frac{1}{p} = \frac{m}{10^{n}-1}$$
Desde $m$ no es igual a $10^n -1$, esto implica que $1/p$ tiene una repetición de la representación decimal, y, además, que el período de repetición divide $n$.
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