Calcular un transporte paralelo

Question

Dejemos que $\mathbb{S}^{2} \subset \mathbb{R}^{3}$ sea el $2$ -esfera ( $\mathbb{S}^{2} = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \; x^2+y^2+z^2 = 1 \right\}$ ). Sea $p \in \mathbb{S}^{2}$ y $\xi \in T_{p}S^{2} = \left\{ p \right\}^{\perp} \simeq \mathbb{R}^2$ . Cuando quise calcular explícitamente el transporte paralelo de $\xi$ a lo largo de una geodésica $\gamma$ (tal que $\gamma(0)=p$ ), he utilizado el siguiente "truco": si $T_{\gamma,0,t}(\xi)$ denota el transporte paralelo de $\xi$ desde el punto $p$ a $\gamma(t)$ , a lo largo de $\gamma$ Entonces..:

$$\forall t, \; T_{\gamma,0,t}(\xi) \in T_{\gamma(t)}\mathbb{S}^{2}$$

y una base ortogonal de $T_{\gamma(t)}\mathbb{S}^{2}$ viene dado por : $(e_{1}(t),e_{2}(t))=(\gamma'(t), \gamma(t) \wedge \gamma'(t))$ . En consecuencia, $T_{\gamma,0,t}(\xi)$ escribe :

$$ \forall t, \; T_{\gamma,0,t}(\xi) = \alpha(t) e_{1}(t) + \beta(t) e_{2}(t) $$

Y, como el transporte paralelo es una isometría,

$$ \left\langle T_{\gamma,0,t}(\xi),\gamma'(t) \right\rangle = \left\langle \xi,\gamma'(0) \right\rangle = \alpha^{2}(t) \Vert e_{1}(t) \Vert^{2} \tag{1}$$

y

$$ \Vert T_{\gamma,0,t}(\xi) \Vert^{2} = \Vert \xi \Vert^{2} = \alpha^{2}(t) + \beta^{2}(t) \tag{2}$$

$(1)$ y $(2)$ permiten determinar $\alpha$ y $\beta$ . Pero creo que el método no se generaliza a una dimensión superior.. Esta es mi idea: Si quiero calcular el transporte paralelo en $\mathbb{S}^{3} \subset \mathbb{R}^{4}$ usando el mismo método, podría determinar una base ortogonal de $T_{\gamma(t)} \mathbb{S}^{3}$ , digamos que $(e_{1}(t),e_{2}(t),e_{3}(t))$ y escribir :

$$ T_{\gamma,0,t}(\xi) = \alpha_{1}(t) e_{1}(t) + \alpha_{2}e_{2}(t) + \alpha_{3}(t) e_{3}(t) $$

pero no sé cómo determinaría $\alpha_{1},\alpha_{2}$ y $\alpha_{3}$ ya que las relaciones $\left\langle T_{\gamma,0,t}(\xi),\gamma'(t)\right\rangle = \left\langle \xi,\gamma'(0) \right\rangle$ y $\Vert T_{\gamma,0,t}(\xi) \Vert^{2} = \Vert \xi \Vert^{2}$ no dan suficiente información (principalmente porque dos ecuaciones no son suficientes para determinar las tres $\alpha_{1},\alpha_{2}$ y $\alpha_{3}$ )... ¿Hay alguna salida con este método o debo calcular el transporte paralelo resolviendo (cuando sea posible) la ecuación diferencial?

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ Este es un punto de vista ligeramente diferente (incluso para el $2$ -esfera). El punto $p$ en $S^{n}$ y la velocidad inicial normalizada $v$ de la geodésica $\gamma$ pueden verse como vectores unitarios ortogonales en $\Reals^{n+1}$ y abarcan un verdadero $2$ -avión $N$ (para el "espacio normal") a través del origen.

El espacio tangente $T_{p} S^{n}$ se identifica con el complemento ortogonal de $p$ y tiene una descomposición ortogonal $\operatorname{span}(v) \oplus B$ , ( $B$ para "espacio binormal"). Un vector arbitrario $\xi$ en $T_{p} S^{n}$ descompone: deja que $av = a\gamma'(0)$ denotan la componente tangencial, y $b$ el componente de $\xi$ en $B$ . (En su notación, $av = \alpha(0) e_{1}(0)$ y $b = \beta(0) e_{2}(0)$ . Por cierto, sus funciones $\alpha$ y $\beta$ son constantes).

La geodésica $\gamma$ tiene una parametrización explícita $$ \gamma(t) = (\cos t) p + (\sin t) v. $$ El espacio tangente de $S^{n}$ en $q = \gamma(t)$ está atravesado por $\gamma'(t)$ y $B$ y en transporte paralelo el $B$ componente de $\xi$ es constante. (Este es el punto crucial).

En consecuencia, el transporte paralelo de $\xi$ a lo largo de $\gamma$ de $p$ a $q$ es $a\gamma'(t) + b$ . (Esto expresa el hecho geométrico de que el transporte paralelo a lo largo de un gran círculo "depende" únicamente del subespacio de $\Reals^{n+1}$ abarcados por $p$ , $v$ y $\xi$ .)

Lo anterior no es tan diferente de su idea; simplemente "aglomera" la $B$ componente de $\xi$ en lugar de expresarlo en términos de una base ortonormal de $T_{p} S^{n}$ .

Answer 2

Siempre se puede configurar la coordenada como $(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ y elegir que la geodésica sea $\phi=0$ y $p=(1, 0, 0)$ sea un punto en el ecuador. Tenga en cuenta que $X=\frac{\partial}{\partial\theta}=(\cos\theta\cos\phi, \cos\theta\sin\phi, -sin\theta)$ y $Y=\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}=(-\sin\phi, \cos\phi, 0)$ son ambos paralelos a lo largo de la geodésica $\phi=0$ cerca de p.

Ahora dejemos que $\xi\in T_pS^2$ , se descomponen $\xi=aX_p+bY_p$ entonces el transporte paralelo de $\xi$ a lo largo de $\phi=0$ es $aX+bY$ .

Como la esfera es homogénea, siempre se puede esperar que p y la geodésica se dispongan así.