Es $|x-y|^n\leq 2^n(|x|^n+|y|^n)$?

Question

Es

$$|x-y|^n\leq 2^n(|x|^n+|y|^n)$$

para todos los $x,y\in\mathbb{R}$ $n=1,2,3,\dots$ un estándar de la desigualdad? Si es así, ¿cuál es su nombre o ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

$|x|=(|x|^n)^{\frac{1}{n}}\le (|x|^n+|y|^n)^{\frac{1}{n}}$ $|y|=(|y|^n)^{\frac{1}{n}}\le (|x|^n+|y|^n)^{\frac{1}{n}}$ . Así $$|x-y|\leq |x|+|y|\leq 2(|x|^n+|y|^n)^{\frac{1}{n}}$$ y, en consecuencia, $|x-y|^n\leq 2^n(|x|^n+|y|^n)$

Answer 2

Es estándar. No estoy seguro de si tiene un nombre. Prueba: $$|x-y|^n \le (|x| + |y|)^n \le (2 \max(|x|, |y|))^n = 2^n \max(|x|^n, |y|^n) \le 2^n (|x|^n + |y|^n).$$

Answer 3

En realidad, esta desigualdad puede ser hecho más fuerte. Es cierto que

$$|x-y|^n\leq2^{n-1}(|x|^n+|y|^n),$$

con la igualdad iff $x=-y$.

Nota cómo su desigualdad se sigue de esto porque cualquier número real es más pequeño que el de su doble. Esto significa que la desigualdad original es débil sólo si $x=y=0$.

Para una prueba, se puede iniciar la estimación de la izquierda, con el Triángulo de la Desigualdad: $$|x-y|\leq|x|+|y|.$$

La desigualdad se reduce entonces a $$\frac{|x|+|y|}2\leq\sqrt[n]{\frac{|x|^n+|y|^n}2}$$

cual es la verdadera causa de la Potencia Media de la Desigualdad. También puede ser probado a través de AM-GM o el Reordenamiento de la Desigualdad de la siguiente manera:

$$\begin{align}2(|x|+|y|)^n&=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\left(|x|^k|y|^{n-k}+|x|^{n-k}|y|^k\right)\\ &\leq\sum_{k=0}^n{n\choose k}\left(|x|^n+|y|^n\right)\\ &=2^n\left(|x|^n+|y|^n\right).\end{align}$$