La equivalencia entre estas definiciones de los números ordinales

Question

1. Von Neumann define un ordinal $\alpha$ como transitivo conjunto cuyos elementos son bien ordenados con respecto a la membresía de la relación $\in$.
2. Mientras tanto, en la Ingenua Teoría de conjuntos, Halmos define un ordinal $\alpha$ como un conjunto ordenado tal que $\forall \zeta \in \alpha$, en el segmento inicial determinado por $\zeta$ $\zeta$ sí. Que es : $s_\zeta = \zeta$ \begin{equation}s_\zeta := \{\beta \in \alpha :~~ \beta < \zeta\}.\end {equation}

Aunque mi intuición me dice que estas definiciones son equivalentes, no soy capaz de demostrarlo en limpio y claro.

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Aquí es lo que tengo hasta el momento :

Para $1. \Leftarrow 2.$, la transitividad de la set $\alpha$ sigue de la condición de $s_\zeta = \zeta$ desde $s_\zeta \subseteq \alpha$ para todos los para todos los $\zeta \in \alpha$.

También, a partir de la condición de $s_\zeta = \zeta$, tenemos que los predecesores de la $\zeta$ en el conjunto ordenado $\alpha$ son exactamente el elemento de $\zeta$.

Todo lo que hace falta para convertir esto en una prueba real de 1. es un poco de estructura...

Para $1. \Rightarrow 2.$, ya que el $\alpha$ está bien ordenado por la pertenencia tenemos $s_\zeta \supseteq \zeta$. Actualmente estoy trabajando en el reverso de la inclusión mediante la transitividad, pero una vez más la cosa carece de claridad.

Answer 1

Deje $\alpha$ ser un Neumann ordinal. Por definición,$\alpha$ está bien ordenado por $<\;:=\;\in$. Deje $\zeta\in \alpha$. A continuación, para $\beta\in\alpha$ tenemos $\beta<\zeta\iff \beta\in \zeta$. Por lo tanto $s_\zeta\subseteq \zeta$ y, más precisamente,$s_\zeta=\zeta\cap\alpha$. Pero por transitividad, $\zeta\in\alpha$ implica $\zeta\subseteq \alpha$, de modo que, de hecho,$s_\zeta=\zeta$. Llegamos a la conclusión de que $\alpha$ es un Halmos ordinal.